Aufgabe:
Gegeben seien \( K \)-Vektorräume \( V, W \) endlicher Dimension und eine \( K \)-lineare Abbildung \( f: V \rightarrow W \)
Zeigen Sie:
(i) Es sind äquivalent:
- \( f \) ist injektiv;
- für jede Basis \( B \) von \( V \) gilt: \( \#(B)=\#(f(B)) \);
- es gibt eine Basis \( B \) von \( V \), so dass \( \#(B)=\#(f(B)) \) ist und \( f(B) \) linear unabhängig ist.
(ii) Es sind äquivalent:
- \( f \) ist surjektiv;
- für jede Basis \( B \) von \( V \) ist \( <f(B)>=W \)
- es gibt eine Basis \( B \) von \( V \) mit \( <f(B)>=W \)
(iii) Es sind äquivalent:
- \( f \) ist bijektiv;
- für jede Basis \( B \) von \( V \) gilt: \( \#(B)=\#(f(B)) \) und \( f(B) \) ist Basis von \( W \)
- es gibt eine Basis \( B \) von \( V \), so dass gilt: \( \#(B)=\#(f(B)) \) und \( f(B) \) ist Basis von \( W \).
