Seien U, V zwei endlich erzeugte isomorphe K-Vektorräume. Beweisen Sie, dass dimU = dimV ist.

Question

Seien \( U \) und \( V \) zwei \( K \) -Vektorräume. Eine Abbildung \( \varphi: U \rightarrow V \) heißt Isomorphismus, falls

(1) \( \varphi \) ist bijektiv und

(2) \( \varphi \) ist eine lineare Abbildung.

\( U \) und \( V \) heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus \( \varphi: U \rightarrow V \) gibt.

Answer 1

diese Aufgabe erscheint mir trivial, denn der Isomorphismus impliziert den Erhalt einer Basis in V, wenn wir die Elemente einer Basis von U mit Hilfe von \( \varphi \) abbilden, da ein Isomorphismus alle Rechenregeln erhält. Man kann jedes Element von V mit Hilfe des Isomorphismus als Linearkombination von Elementen in U darstellen und umgekehrt.

MfG

Mister