Bezeichne V den reellen Vektorraum ℝ[X] und M ⊂ ℝ eine Menge mit d Elementen.
Seien U1 := { f ∈ ℝ[X] I ∀m ∈ M: f(m) = 0}, U2 := { f ∈ ℝ[X] I deg(f) ≤ d-1} zwei Untervektorräume von V
und weiter φ: V→ Abb (M,ℝ) die durch φ (f) (m) := f(m) gegebene lineare Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass φIU2 : U2 → Abb (M,ℝ) ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
b) Folgern Sie mit dem Homomorphiesatz, dass auch gilt: V/U1 ≅ Abb (M,ℝ).
c) Folgern Sie, dass U2 ein Komplement von U1 ist.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden: Ein Polynom in K[X] von Grad n ∈ ℕ0 hat höchstens n Nullstellen in K.
Wäre super wenn ihr mir helfen könntet, die Aufgabe zu lösen:)
Danke!
