Vektorraum R[X]. Was ist mit f bzw. f(m) und Φ(f)(m) gemeint? Verständnis in Mathe :(

Question

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Bezeichne V den reellen Vektorraum R[X] und M ⊂ R eine Menge mit d Elementen.

Seien U1 := { f ∈ R[X] | ∀m ∈ M : f(m) = 0},

U2 := { f ∈ R[X] | deg(f) ≤ d − 1} zwei Untervektorräume von V

und weiter Φ : V → Abb(M, R) die durch Φ(f)(m) := f(m) gegebene lineare Abbildung.

a) Zeigen Sie, dass Φ|U2 : U2 → Abb(M, R) ein Vektorraum-Isomorphismus ist..

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kann jemand mir erklären, was f bzw. f(m) und Φ(f)(m) gemeint sind.

Und was bedeutet Φ|U2 : U2 → Abb(M, R).( was ist das Φ|U2 bedeutet?)

danke sehr

Answer 1

> U1 := { f ∈ R[X] | ∀m ∈ M : f(m) = 0}

U1 ist die Menge aller Polynome, die Nullstellen an allen Stellen hat, die in M sind. Außerhalb dieses Ausdrucks hat f keine Bedeutung. Man könnte in diesem Ausdruck anstatt f auch g oder h oder Hiltrud schreiben ohne dass sich das auf die anderen Teile der Aufgabe  auswirken würde.

> U2 := { f ∈ R[X] | deg(f) ≤ d − 1}

U2 ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich d-1. Außerhalb dieses Ausdrucks hat f keine Bedeutung. Man könnte in diesem Ausdruck anstatt f auch g oder h oder Hiltrud schreiben ohne dass sich das auf die anderen Teile der Aufgabe auswirken würde.

> Φ(f)(m) := f(m)

Der Funktionswert von Φ an der Stelle f ist die Funktion, die jedem m∈M den Funktionswert f(m) zuordnet. Man könnte in diesem Ausdruck anstatt f auch g oder h oder Hiltrud schreiben ohne dass sich das auf die anderen Teile der Aufgabe auswirken würde.

> Und was bedeutet Φ|U2 : U2 → Abb(M, R)

Φ ist ja als Abbildung von V nach Abb(M, R) definiert worden, hat also den  Definitionsbereich V. Φ|U2 hat die gleiche Abbildungsvorschrift wie Φ, hat aber als Definitionsbereich nicht mehr ganz V, sondern nur noch U2.