Isomorphie Stammkörper irreduzible Polynome

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

was?

Text erkannt:

Aufgabe 4. Sei \( K \) ein Körper der Charakteristik 2. Seien \( \alpha, \beta \in K \) beliebig. Falls \( p_{\alpha, 1}:=X^{2}-\alpha \) oder \( p_{\beta, 2}:=X^{2}-X-\beta \) irreduzible Polynome in \( K[X] \) sind, so definieren wir
\( L_{\alpha, 1}:=K[X] /\left\langle p_{\alpha, 1}\right\rangle \text { beziehungsweise } L_{\beta, 2}:=K[X] /\left\langle p_{\beta, 2}\right\rangle \)
Sei weiter \( L \) der Stammkörper eines beliebigem irreduziblen quadratischen Polynoms in \( K[X] . \) Zeigen Sie folgende Aussagen:
(a) Es gibt \( \alpha \in K \), so dass \( L \cong_{K} L_{\alpha, 1} \) oder \( L \cong_{K} L_{\alpha, 2} \).
(b) Wenn \( K \) ein perfekter Körper ist, so ist \( L \cong_{K} L_{\alpha, 2} \) für ein \( \alpha \in K \).
(c) Für \( \alpha, \beta \in K \) sind \( L_{\alpha, 1} \) und \( L_{\beta, 2} \) stets nicht isomorph über \( K \).
Hinweis \( z u \) Teil \( (c) \) : Man zeige zunächst, dass \( l^{2} \in K \) für alle \( l \in L_{\alpha, 1} \) gilt.

Hallo, wir wissenbei der aufgabe überhaupt nicht weiter. da sind nur große fragezeichen..


LG

Comments

Wie ist bei euch "Stammkörper" definiert?

Ist das der Zerfällungskörper eines irred. Polynoms ?

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Der Erweiterungskörper L heißt Stammkörper eines irreduziblen Polynoms p element
K[X] über K, wenn es ein x element L gibt mit p(x) = 0 und L = K(x), d.h. wenn L
ein minimaler Erweiterungskörper von K ist, in dem p eine Nullstelle hat.

Answer 1

(a):

Da \(L\) als \(K\)-Vektorraum die Dimension 2 hat,

gibt es eine Basis \(1,y\), so dass \(L=K+Ky\).

1. Fall: Es ist \(y^2=\alpha\) mit einem \(\alpha\in K\), dann ist

\(L\cong L_{\alpha,1}\).

2. Fall: Es ist \(y^2=ry+s\) mit \(r,s\in K, r\neq 0\).

Dann betrachten wir \(z:=r^{-1}y\), also \(y=rz\).

Klar ist dann \(L=K(y)=K(z)\). Man bekommt

\(z^2=z+r^{-2}s\), also \(L\cong L_{\alpha,2}\) mit \(\alpha=r^{-2}s\)

Bedenke bei alledem, dass \(2=0\) gilt.

(b) Wenn \(K\) perfekt ist, dann ist jedes Element von \(K\)

ein Quadrat und daher ein Polynom \(X^2-\alpha\)

immer reduzibel: \(X^2-\alpha=(X-\gamma)^2\) mit \(\alpha=\gamma^2\).

Daher kommt nur die Variante 2 in Frage.