Hallo zusammen!
Ich bin gerade bei der Galoistheorie und dort verstehe ich folgenbdes Beispiekl nicht wirklich:
Beispiel 3.3.1. Sei \( f \in \mathbb{Q}[X] \) ein Polynom und \( \mathbb{Q}(f) / \mathbb{Q} \) die Körpererweiterung aus Beispiel 3.2.2. Dann gilt (!)
\( G(\mathbb{Q}(f) / \mathbb{Q}) \cong G(f) \)
Wir haben diese Sachen vorher definiert bzw. eingeführt:
Sei \( f(X) \in \mathbb{Q}[X] \) ein Polynom vom Grad \( n \geq 1 \) mit Nullstellen \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbb{C} \). Sei \( \mathbb{Q}(f) \) das Bild des Ringhomomorphismus
\( \varphi: \mathbb{Q}\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right] \rightarrow \mathbb{C}, f\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) \mapsto f\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) \)
und
Für eine Körpererweiterung \( L / K \) bezeichnen wir
\( G(L / K):=\{\sigma \in \operatorname{Aut}(L) \mid \forall x \in K: \sigma(x)=x\} \leq \operatorname{Aut}(L) . \)
.
Ich verstehe nicht ganz, warum die Isomorphie gilt, vermutlich liegt dies daran, dass ich nicht wikrlich was mit der Definition von \(G(f)\) anfangen kann, die im Übrigen auch nicht wirklich definiert hatten.
Vielen Dank im Voraus!
