Moin!
Ich beschäftige mich aktuell mir Galoistheorie und dort habe ih folgende Unschlüssigkeit:
Wir haben anfägnlich die Galoisgruppe so definiert:
Definition 3.1.1. Sei \( f(X) \in \mathbb{Q}[X] \) ein Polynom vom Grad \( n \geq 1 \) mit rationalen Koeffizienten und seien \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbb{C} \) die komplexen Nullstellen (möglicherweise mit Vielfachheiten) von \( f(X) \). Die Galoisgruppe
\( G(f) \leq S_{n} \)
von \( f \) über \( \mathbb{Q} \) ist die Untergruppe, bestehend aus denjenigen Permutationen \( \sigma \), welche die folgende Bedingung erfüllen:
- Für jedes
\( r\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right) \in \mathbb{Q}\left[X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right] \)
mit \( r\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right)=0 \) gilt auch \( r\left(\lambda_{\sigma(1)}, \lambda_{\sigma(2)}, \ldots, \lambda_{\sigma(n)}\right)=0 \).
In anderen Worten, \( G(f) \) ist die Untergruppe derjenigen Permutationen, die alle algebraischen Relationen über \( \mathbb{Q} \) der Nullstellen von \( f(X) \) erhalten.
Des Weiteren haben wir noch dies definiert:
Sei \( L \) ein Körper. Einen bijektiven Ringhomomorphismus \( \sigma: L \rightarrow L \) nennen wir auch Körperautomorphismus von \( L \) und bezeichnen die Menge der Körperautomorphismen von \( L \) mit \( \operatorname{Aut}(L) \). Für eine Körpererweiterung \( L / K \) bezeichnen wir
\( G(L / K):=\{\sigma \in \operatorname{Aut}(L) \mid \forall x \in K: \sigma(x)=x\} \leq \operatorname{Aut}(L) . \)
und dieses Beispiel irritiert mich jetzt ein wenig sehr stark:
Beispiel 3.3.1. Sei \( f \in \mathbb{Q}[X] \) ein Polynom und \( \mathbb{Q}(f) / \mathbb{Q} \) die Körpererweiterung aus Beispiel 3.2.2. Dann gilt (!)
\( G(\mathbb{Q}(f) / \mathbb{Q}) \cong G(f) . \)
wobei das das Bsp. 3.2.2 ist:
Sei \( f(X) \in \mathbb{Q}[X] \) ein Polynom vom Grad \( n \geq 1 \) mit Nullstellen \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbb{C} \). Sei \( \mathbb{Q}(f) \) das Bild des Ringhomomorphismus
\( \varphi: \mathbb{Q}\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right] \rightarrow \mathbb{C}, f\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) \mapsto f\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) \)
Dann ist \( \mathbb{Q}(f) / \mathbb{Q} \) eine endliche Körper(!)erweiterung (vom Grad \( \left.\leq n^{n}\right)(!) \).
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Ich frage mich jetzt, warum diese Isomorphie dort besteht, da ja, falls \(f\) auch rationale Nullstellen \(\lambda_1,...,\lambda_m\) hat, diese zwar durch die Galoisgruppe \(G(f)\) permutiert werden können, aber eben durch \(G(Q(f)/Q)\) nicht, da dort diese ja nach der Definition auf sich selbst abgebildet werden müssten?
Vielen Dank im Voraus!
