Skizze für Schattenpunkt

Question

Text erkannt:

SCHRIFTLICHE ABITURPROFUNG 2022
ERHOHTES ANFORDERUNGSNIVEAU
MATHEMATIK (NACHPRUFUNG)
PROFUNGSAUFGABE (PRUFUNGSTEIL 2)

Aufgabe 2:
Analytische Geometrie

Ein rechteckigesTerrassendach ist in der Höhe von 3 m an einer Hauswand befestigt
BE und wird mit zwei je \( 2,5 \mathrm{~m} \) hohen Pfeilern abgestützt. Die Pfeiler stehen vertikal auf einem horizontalen Untergrund, sind 6 m voneinander entfernt und haben den gleichen Abstand zur Hauswand. Die Hauswand ist 11 m lang und der Dachfirst hat eine Höhe von \( 6,25 \mathrm{~m} \).
Die Hauswand und das Terrassendach werden vereinfacht in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt (vergleiche Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität. Die xy-Ebene beschreibt den horizontalen Untergrund.
Die Materialstärke der beschriebenen Objekte soll vernachlässigt werden.
Die Strecken \( \overline{A D} \) und \( \overline{B C} \) mit \( \mathrm{A}(4|0| 0) \)
beschreiben die Pfeiler; die grau unterlegte Fläche das Terrassendach. Das Fünfeck EFGHI mit I(0|-2,5|4) befindet sich in der yz-Ebene und beschreibt die Hauswand.
Der Anfangspunkt des Dachfirstes ist durch den Punkt H gekennzeichnet. Die Ebene \( y=3 \) ist eine Symmetrieebene der beschriebenen Objekte.
a) Begründen Sie, dass das Viereck ABFE ein Trapez ist.
b) Das Terrassendach liegt in einer Ebene, die im Modell durch die Ebene \( \varepsilon \) beschrieben wird. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \( \varepsilon \) in Koordinatenform.
[zur Kontrolle : \( \varepsilon: x+8 z-24=0 \) ]
c) Berechnen Sie den Abstand des Punkts H von der Ebene \( \varepsilon \).
d) Weisen Sie nach, dass das Terrassendach weniger als \( 15 \% \) gegenüber der
3
4
2
2 Horizontalen abfäll.
e) Bei einem Niederschlag fallen konstant 15 Liter Regenwasser pro Stunde auf 4 jeden Quadratmeter des Terrassendachs. Das auf das Terrassendach fallende Regenwasser wird vollständig in einer leeren Regentonne mit dem Fassungsvolumen von \( 0,5 \mathrm{~m}^{3} \) aufgefangen. Ermitteln Sie, nach wie vielen Minuten die Regentonne vollständig gefüllt ist.

Ich konnte bisher alles lösen bis auf Aufgabe f. Kann mir da jemand helfen?

Comments

Du kennst H und die Ebene. Rechnerisch würde man es lösen in dem man prüft, ob die Gerade durch H in Richtung des Lichteinfalls die Ebene trifft. Hier soll man wohl mit Skizze arbeiten, da wählt man eine geschickte Ansicht und betrachtet alles von der Seite.

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Text erkannt:

\( 01410,2,5112 \mid 01031 \)
\( \frac{015 m}{4 m} \cdot 100=12,5 \%, 15 \% \)
e)
\( \begin{array}{l} A:|\overrightarrow{O Q} \times \overrightarrow{D C}| \\ \begin{aligned} |\vec{n}|=\sqrt{3^{2}+24^{2}} & =24,19 \mathrm{~m}^{2} \\ & =24,2 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} \end{array} \)
\( 15 \frac{L}{n} \) aut \( 1 \mathrm{~m}^{2} \)
- \( 363 \frac{l}{h} \)

Fassungvermögen:
\( 6,05 \frac{\mathrm{l}}{\mathrm{min}} \)
\( 015 \mathrm{~m}^{3} \cdot 1000=500 \mathrm{C} \)
\( 500 \mathrm{l}: 6,05 \frac{\mathrm{l}}{\mathrm{~min}}=82,64 \mathrm{~min} \)
f)

Etwa so?

Ich habe keine Ahnung xD

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Genau, H liegt aber einen Tick höher, was nichts am Prinzip ändert.

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Das heißt der Schattenpunkt ist drauf?

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Ja, genau, ist er

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Bei h) kann man ja davon ausgehen das z=0 ist aufgrund des Terrassenuntergrunds. Mithilfe der Punkte E und F lässt sich der Mittelpunkt M (0/3) und der radius 5,5 bestimmen und damit kann man eine Kreisgleichung aufstellen. Wie kriege ich die Punkte des vorderen Halbkreises raus wie auf dem Bild zu erkennen ist?

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Kreisgleichung aufstellen, wenn nicht bekannt hilft Wikipedia

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Die Kreisgleichung habe ich schon aufgestellt, aber ich habe ja einen ganzen Kreis und brauche dann nur die Punkte des vorderen Halbkreises wie es die Aufgabe verlangt.

Wie löse ich das?

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Habe nochmal nachgeschaut, ist die Halbkreisgleichung:

y= 3+\( \sqrt{30,25-x^2} \)

?

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Idee ist richtig, Ergebnis noch nicht. Die korrekte Gleichung würde auch nur den Rand und nicht die inneren Punkte angeben.

Schau Dir die Skizze an, kann y negativ werden? Kann es laut deiner gleichung negativ werden? Typisches Problem beim Wurzelziehen…

Aus der Skizze: Welche Werte darf x annehmen? und welche Werte y?

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Also y kann von - 2,5 bis 8,5 Werte annehmen und x nur positive werte.

Also 3-\( \sqrt{30,25+x^2} \)

?

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Auch nicht, schau dir an, wie x und y achse positioniert sind. Lös statt nach y mal nach x auf.

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Kannst du es mir bitte sagen :(

Sitze schon zu lange an der Aufgabe und möchte mal was anderes machen :/

Nach x aufgelöst wäre es \( \sqrt{39,25 - y^2} \)

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Die werte die für beliebiges y eingesetzt werden, sind zu groß für x

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Ok, ein Weg ist zu sagen: alle Punkte in der x,y Ebene mit x ≥0 und x² + (y-3)² ≤ 5,5²

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Okay Dankeschön, kann man das aber auch noch mit der anderen Halbkreisgleichung aufstellen die ich gerade verzweifelt probiert habe umzustellen xD?

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Ja

0  ≤ x ≤ √5,5² - (y-3)²

Deine Halbkreisgleichungen lieferten die Halbkreise rechts bzw. links der x- Achse. Du willst aber den unterhalb der y-Achse^.

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Vielen vielen Dank!!!

Answer 1

f)

Hier der Querschnitt bei y = 3

Eingezeichnet der Fall, wenn die Sonne links oben steht. Nicht eingezeichnet ist der triviale Fall, dass die Sonne rechts oben steht.

Comments

Und der Schattenpunkt ist somit drauf? Das kapiere ich noch nicht ganz

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Richtig. Der Schattenpunkt ist auf dem Dach. Hier klein und schwarz eingezeichnet.

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Okay und woher weiß ich das das der Schattenpunkt ist? Ich stehe gerade aufen Schlauch sorry :/

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Eingezeichnet ist der Punkt H des Dachfirstes. Von dort der Schattenverlauf dieses Punktes mit einer Strecke, die auf dem Terassendach endet. Dieses Strecke ist im Winkel von 45 Grad zur Horizontalen von links oben gezeichnet.

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Ahhhhh habs jetzt geschnallt.

Ganz schön schwierig die Aufgabe.

Hoffentlich muss ich sowas in der Prüfung in 4 Wochen nicht machen xD

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Wenn es nur solch kleine zeichnerische Aufgabe ist, bei der du Probleme hast, ist da ja nicht weiter wild. Deine Skizze oben war doch schon fast gut. Nur das du dich nicht an die 45 Grad gehalten hast.

Weiterhin ist die Aufgabenstellung mal wieder sehr fragwürdig. Die meisten Terrassen sind bei uns nach Süden gebaut, damit man im Sommer möglichst viel Sonne auf der Terrasse hat. Hier ist die Terrasse nach Norden gebaut, wo das Haus einen Schatten auf die Terrasse wirft.

Wie gesagt den trivialen Fall, dass die Sonne rechts oben steht und der Punkt H gar keinen Schatten wirft, habe ich hier nicht betrachtet.

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Wie die Terassen bei uns gebaut sind hätte ich überhaupt nicht drüber nachgedacht, aber deine Aussage macht natürlich Sinn.

Könntest du nochmal kurz bei h gucken und mir da einen Ansatz geben? ^^

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Auch h) ist sprachlich ungenau. Einmal wird vom Terrassenuntergrund gesprochen und einmal von dem Halbkreis der in E und F endet.

Der Halbkreis wird beschrieben durch

x^2 + (y - 3)^2 = 5.5^2 mit x ≥ 0

Geht es um die Halbkreisfläche dann

x^2 + (y - 3)^2 ≤ 5.5^2 mit x ≥ 0

Answer 2

Betrachte das Gebäude von der Seite. Zeichne also ein Koordinatensytem mit \(x \)- und \(z \)-Achse. Zeichne den Punkt \( H \) ein und die Stelle, wo sich die Kante des Terrassendachs befindet, du sie also von der Seite sehen würdest. Zeichne dann von \( H \) im Winkel von 45° eine Geraden ein und beurteile, ob du vor oder hinter die Stelle des Terassendachs landest.

Comments

Ich probiers mal aus, Dankeschön :)