Umformung eines Bruchs mit binomischen Formeln

Question

Hallo zusammen,

ich sitze vor der folgenden Aufgabe und komme einfach nicht auf die Lösung.

Aufgabe:

\( \frac{x^4+18x^2+82}{(x^2+9)^2} \)

Laut Musterlösung kommt folgendes Ergebnis heraus:

1+\( \frac{1}{(x^2+9)^2} \)

Problem/Ansatz:

Im Nenner bietet sich die 1. binomische Formel an:

\( \frac{x^4+18x^2+82}{x^4+18x^2+81} \)

Nun stehe ich leider auf der Leitung, wie ich weiter vorgehen soll. Hat jemand eventuell einen Tipp für mich, wie ich weiter vorgehen soll? Ich drehe mich seit einer Ewigkeit im Kreis und habe, ehrlich gestanden, keinen blassen Schimmer was ich tun soll.

Liebe Grüße
Christina

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Na ja, mach einfach zwei Brüche draus, 82 ist doch 81 + 1 ;-)

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Vielen Dank für Deinen Hinweis, user26605! Jetzt habe ich es verstanden.

Dank der hilfreichen Antworten und Tipps konnte ich die Aufgabe lösen. Daher ergänze ich hier noch den Lösungsweg:

\( \frac{x^4+18x^2+81}{x^4+18x^2+81} \)+\( \frac{1}{x^4+18x^2+81} \)

= 1+\( \frac{1}{x^4+18x^2+81} \)

= 1+\( \frac{1}{(x^2+9)^2} \)

Vielen Dank noch einmal an Euch Drei!

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Ein kleiner Tipp, wenn du mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht siehst und du eine Kontroll-Lösung hast. Probier doch mal was man mit der Kontroll-Lösung machen kann. Also z.B. auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

$$1+\frac{1}{(x^2 + 9)^2} \newline = \frac{(x^2 + 9)^2}{(x^2 + 9)^2} + \frac{1}{(x^2 + 9)^2} \newline = \frac{(x^2 + 9)^2 + 1}{(x^2 + 9)^2} \newline = \frac{x^4 + 18x^2 + 81 + 1}{(x^2 + 9)^2} \newline = \frac{x^4 + 18x^2 + 82}{(x^2 + 9)^2}$$

Als Nächstes könnte an es dann noch in umgekehrter Reihenfolge notieren.

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Eigentlich ist es ein sehr leichter Fall von ‚Polynomdivision‘. Einfach mal danach suchen…

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Der Trick bei solchen Aufgabe ist immer derselbe: etwas hinzufügen/abziehen und sofort wieder abziehen/hinzufügen um dann Teilbrüche bilden zu können:

(a+b)/(a+b+c) = (a+b-c-+c)/(a+b+c) = (a+b+c)/(a+b+c) - c/(a+b+c)

Der Nenner gibt hier den Hinweis, in welche Richtung es gehen muss: im Zähler eine binom. Formel erhalten, die man leicht an den Zahlen erkennen kann.

Wenn man den Nenner ausmultipliziert, kommt man schnell auf das, was zu tun ist: 1 abziehen und gleich wieder addieren.

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Vielen Dank, walbus! Den Trick merke ich mir.
Die von user26605 angesprochene Polynomdivision werde ich heute Abend auch wiederholen.

Viele Grüße
Christina

Answer 1

Es gilt

\(x^4+18x^2+82=x^4+18x^2+81+1=(x^2+9)^2+1\).

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Hallo Apfelmännchen,

vielen Dank für Deine Antwort! Das war es in der Tat, ich habe die +1 schlicht und ergreifend nicht gesehen bzw. mir nichts dabei gedacht. Ich habe es gerade nachgerechnet und es passt. Manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht.
Den Lösungsweg habe ich oben ergänzt.

Viele Grüße
Christina

Answer 2

Huhu,

Du siehst doch mit der 1+..., dass hier vermutlich der Bruch auseinander gezogen wurde und dann gekürzt. Hier bietet es sich an zu vermuten, dass der Nenner im Zähler zu finden ist und +1 noch dazu muss.

\(x^4+18x^2+82 = x^4+18x^2+81 + 1\)

Wende die binomische Formel auf die ersten drei Summanden an. Vermutlich wird das der Nenner sein...dann kann man den Bruch auseianderziehen und kommt auf die Musterlösung.

Grüße

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Guten Abend Unkown,

vielen Dank für Deine Antwort! An die naheliegende Möglichkeit mit der +1 bin ich leider einfach nicht gekommen. Ich habe es nachgerechnet und es funktioniert! Danke!
Den Lösungsweg habe ich oben ergänzt.

Viele Grüße
Christina