Determinante und Rotationsmatrix

Question

was bedeutet es eigentlich für eine Rotation wenn die Rotationsmatrix eine Determinante von 1 hat ?

Und zur Determinante, ist mein Verständnis richtig, dass diese die Fläche zwischen zwei Vektoren ist ?

Comments

Was genau verstehst du unter der 'Fläche zwischen zwei Vektoren'?

Answer 1

Determinante, ist mein Verständnis richtig, dass diese die Fläche zwischen zwei Vektoren ist ?

Nein, weil eine Determinante eine Zahl ist und daher keine Fläche sein kann.

Richtig ist: Der Absolutbetrag der aus zwei Vektoren \(\in \mathbb{R}^2\) gebildeten 2x2-Determinante ist der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Eigenschaften 10b).

Zur Rotation: Die Bedingung det=1 nennt man auch "orientierungserhaltend", siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Allgemeine_Definition

Comments

Sagt dann quasi immer die Determinante einer linearen Transformation wie sich die Fläche des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms nach der Transformation verändert ? Also bei einer Rotation ändert sich die Fläche gar nicht und deshalb ist die det = +1.

Was wäre denn wenn die det = -1 wäre ?

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Nochmal: Fläche ist nicht Flächeninhalt. Bei Rotation ändert sich die Fläche, aber nicht der Flächeninhalt. Das gleiche gilt für Spiegelungen, aber diese könnten det=-1 haben. Ist alles unter obigen links erklärt.

Answer 2

Ja wieder ne richtige geile Frage - grüße die Jungs auf Schalke, ne? Wenn du so ne richtige nette Orthogonalmatrix \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n} \) hast, folgt mit \(Q^TQ=I_{n \times n}  \), dass

$$\det(Q)^2=\det(Q^T)\det(Q)=\det(Q^TQ)=1$$

und somit auch
$$\det(Q)=\pm 1.$$

Die Rechnung ist einfacher als ne alte klären, wa?

Jetzt ist es so, dass die Determinante einer Matrix
$$M=(v_1|\dots |v_n)$$
mit \( v_i \in \mathbb{R}^n \) das orientiere Volumen des Simplex, der durch die \(v_i \) aufgespannt wird, darstellt. Das gilt für jede Matrix/Vektoren, nicht nur für orthogonale.

Jetzt kombinieren wir mal beides und schieben uns das neue WIssen in die Gehirnluke rein: Wenn wir eine Orthogonalmatrix haben, sind die Spaltenvektoren (auch Zeilenvekoren) orthogonal zueinander auf und spannen damit einen Simplex mit orientierten Volumen \( \pm 1 \) auf. Inbesondere heißt das, wenn das orientiere Volumen \( 1 \) ist, dann haben wir einen Simplex mit derselben Orientierung wie der Simplex, der von der Standardbasis \(e_1,\dots e_n \) aufgespannt wird.