Matrizen auf Regularität überprüfen

Question

Folgende Matrizen sind auf Regularität zu untersuchen:

$$a)  M=\begin{pmatrix} 0,3 & 0,2 &0,4 \\ 0 & 0,5 &0 \\ 0,7 & 0,5 &0,6\end{pmatrix} b)  M=\begin{pmatrix} 0 & 0,2 &0,4 \\ 0 & 0,3 &0,6 \\ 1 & 0,5 &0\end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

In meinem Mathebuch steht: Eine Matrix M heißt regulär, wenn irgendeine der Matrizen M, M^2, M^3 etc nur positive Elemente aufweist bzw es reicht, M und M^2 zu untersuchen: Wenn M und M^2 an der selben Stelle eine Null haben, dann ist M nicht regulär.

Außerdem habe ich woanders gelesen, dass eine Matrix regulär ist, wenn die entsprechende Determinante ungleich Null ist.

Meine Überprüfung hat folgendes ergeben:

a) det (M) = -0,03, also regulär

$$M^2=\begin{pmatrix} 0,37 & 0,32 &0,36\\ 0 & 0,09 &0 \\ 0,63 & 0,59 &0,64\end{pmatrix}$$, also nicht regulär

b)  det (M) = 0, also nicht regulär

$$M^2=\begin{pmatrix} 0,4 & 0,26 &0,12\\ 0,6 & 0,39 &0,18 \\ 0 & 0,35 &0,7\end{pmatrix}$$, also regulär

Was ist denn jetzt richtig? Vielen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Das klingt wie die Definition von ‚primitiven‘ Matrizen. Würde mich nur wundern, wenn das in einem Schulbuch vorkommt und dann noch mit einem anderen Namen.

Auch der zweite Teil (mit M und M^2 an derselben Stelle Null dann M nicht primitiv) stimmt dann.

Comments

Diese Definitionen wurden aufgeführt im Zusammenhang mit dem Thema Markov-Ketten.

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Das erklärt alles. Gemeint sind also primitive Matrizen. Nutzung des belegten Begriffs ‚regulär‘ ist unglücklich. Mit den üblichen regulären Matrizen hat das nichts zu tun, somit ist auch das mit det ungleich Null hinfällig.

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Danke für deine Richtigstellung des verkehrten Begriffs im Lehrbuch

https://de.wikipedia.org/wiki/Primitive_Matrix
https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix

Answer 2

Eine Matrix M heißt regulär, wenn irgendeine der Matrizen M, M^2, M^3 etc nur positive Elemente aufweist bzw es reicht, M und M^2 zu untersuchen: Wenn M und M^2 an der selben Stelle eine Null haben, dann ist M nicht regulär.

Wenn das so in deinem Buch steht, ist das falsch. Betrachte für den zweiten Fall einfach die Einheitsmatrix. Deren Potenzen haben natürlich an denselben Stellen Nullen. Die Einheitsmatrix ist aber offensichtlich regulär. Die Matrix bei b) ist dann auch das Gegenbeispiel für den ersten Teil der Aussage, denn \(M^3\) hat nur positive Einträge, aber die Determinante ist 0.

Nutze besser die Determinante. Bei a) ist sie übrigens -0,05.

Comments

Das steht so in Bigalke/Köhler Mathematik Q2, Leistungskurs und das ist falsch?

zu a) det (M) = -0,03 oder willst du sagen, dass Mr. Excel sich verrechnet hat?

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Ich bekomme -0,05 heraus. ;)

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Was steht da im Buch genau?

\(\det(M)=-0.05\), und excel wird richtig gerechnet haben. Nur hast Du die Matrix hier falsch aufgeschrieben - ich nehme nämlich an, dass es um stochastische Matrizen geht und dann wäre in a) vermutlich \(M_{22}=0.3\), und dann passt auch Deine Determinante.

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Sorry Tippfehler: Die Matrix bei a) muss heißen:

$$M=\begin{pmatrix} 0,3 & 0,2& 0,4 \\ 0 & 0,3 &0\\ 0,7 & 0,5 &0,6 \end{pmatrix}$$

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Was im gelben Kasten steht, ist der Originalwortlaut im Buch.

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Ein weiteres Gegenbeispiel für die erste Aussage ist übrigens die Matrix

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \).

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Das steht so in Bigalke/Köhler Mathematik Q2, Leistungskurs und das ist falsch?

Offensichtlich ist das falsch. Ich habe nur eine ältere Version von Bigalke/Köhler. Da stand das noch nicht drin, aber fehlerfrei ist auch das nicht.

Vermutlich gibt es auch sehr wenige Schulbücher ohne Fehler.

Von den Verlagen wird normalerweise für jedes Buch eine Fehlerliste geführt. Wir hatten uns mal bei einem anderen Verlag, als wir in einem Buch mehrfach auf Fehler gestoßen sind, alle Fehler die uns auffallen zu sammeln. Am Schuljahresende hatte ich dann die aufgefallenen Fehler an den Verlag geschickt.

Leider sind die Fehlerlisten zu Büchern, soweit ich weiß, nicht öffentlich einzusehen.

Die Verlage bauen da offensichtlich auf die Fachlehrer, die zumindest solche groben Fehler wie falsche Definitionen korrigieren und ihren Schülern mitteilen.