Umwandeln von Koordinatenform in Parameterform

Question

Aufgabe:

Koordinatenform in Parameterform umwandeln:

E: -12x1 + 4x3 =-32

Problem:

Ich verstehe nicht mal was ich machen soll und auf die Spurpunkte komme ich auch nicht um irgendwie weiterzurechnen.

Ich bitte um Hilfe

Comments

Suche einfach durch Probieren 3 Punkte, die die Ebenengleichung erfüllen. Dann kannst Du damit zwei Richtungsvektoren und einen Aufpunkt ermitteln.

Answer 1

E: - 12·x + 4·z = -32

Für die Spurpunkte setzt du einmal für x = 0 ein und einmal für z = 0 ein und löst zur anderen Unbekannten auf. Die Spurpunkte sind (8/3 | 0 | 0) sowie (0 | 0 | -8). Weiterhin ist die Ebene parallel zur y-Achse. Damit stellst du jetzt die Parameterform auf

E: X = [0, 0, -8] + r * [8/3, 0, 8] + s * [0, 1, 0]

Wenn du etwas nicht verstanden hast, frag gerne nochmals nach.

Comments

Vielen Lieben Dank

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Was du machen kannst ist den einen Richtungsvektor noch etwas optimieren

[8/3, 0, 8] = 8/3·[1, 0, 3]

D.h. du kannst auch nur [1, 0, 3] als Richtungsvektor nutzen. Das muss man aber nicht machen und evtl. verwirrt es auch manche.

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ich hätte doch noch eine frage…

in der Lösung steht nämlich: E:X= (2/0/-1)+s*(1/03)+t*(1/4/3)

wie kann das sein?

außer die (1/0/3) die hast du ja schon erklärt

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Die Parameter Darstellung ist nie eindeutig: jeder Punkt der Ebene kann als Aufpunkt dienen und jedes Pärchen von linear unabhängigen Vektoren, die in der Ebene liegen als Richtungsvektoren.

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Wir können den Vektor [1, 0, 3] vom anderen Richtungsvektor abziehen

[1, 4, 3] - [1, 0, 3] = [0, 4, 0]

Dann erhalten wir einen viel einfacheren zweiten Richtungsvektor. Den könnte man dann noch durch 4 teilen und dann wär das der, den man hätte gleich ablesen können, weil die Ebene parallel zur y-Achse ist.

Vielleicht haben die Ersteller der Musterlösung, wie es dir empfohlen worden ist, auch einfach Punkte der Ebene erraten und daraus eine Ebene gebastelt. Ich persönlich würde den Weg über die Spurpunkte und der besonderen Lage im Koordinatensystem wählen.

Es ist ja schon komisch wie die Ebene definiert ist.

E: -12·x + 4·z = -32

Ein Mathematiker würde das vermutlich nie so notieren, weil die Gleichung komplett durch -4 teilbar ist

E: 3·x - z = 8

sieht doch viel schöner aus, aber das ist vielleicht auch nur Geschmackssache.

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Wäre eigentlich diese Parameterform auch richtig:

E: X= (2/1/-2) +r* (2:3/-1/2) + s*(-2/-1/-6)

wenn ich für x1= 2 und für x2=1 eingegeben hab und dann für x3=-2 rauskam, weswegen man sagen kann, dass der Punkt P(2/1/-2) auf der Ebenen: -12x1+4x3=-32 liegt

dann könnte man mit P(2/1/-2) und den Spurpunkten S(8:3/0/0) und S(0/0/-8) auf die Parameterform von oben kommen.

Wäre das richtig?

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Ja. Du kannst das ganz eicht selber Prüfen, wenn du die Koordinaten der Ebene in Abhängigkeit von r und s in die Koordinatenform einsetzt

3·(2 + 2/3·r - 2·s) - (-2 + 2·r - 6·s) = 8
--> 8 = 8 wahr.

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in der Lösung steht nämlich: E:X= (2/0/-1)+s*(1/03)+t*(1/4/3)

Hat wohl keiner gemerkt, dass die Lösung offenbar falsch ist. Der zugehörige Punkt zum Stützvektor liegt nämlich gar nicht in der Ebene.

Answer 2

Was immer geht: wähle drei beliebige Punkte in der Ebene (irgendwelche, fast egal welche), bestimme damit zwei Richtungen und setze zusammen.

Comments

Blöde ist, dass ich ja keine kenne (:

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Scharfes hinsehen reicht, z.B. x1=x2=0 und x3=-8

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Es reicht auch Probieren eines beliebigen Punktes. Der wird dann nicht passen, aber dann siehst Du was Du machen machst um passende zu finden. Einfach mal anfangen. Spurpunkte brauchst Du nicht (noch nicht einmal den Begriff kennen).