Aufgabe:
Text erkannt:
Entwichen sie aus der Parameterform \( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)+5 \cdot\left(\begin{array}{l}5 \\ \frac{2}{3} \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\binom{-2}{4} \) eine Darstellung in koordinatenform
Ansatz:
(1) \( \vec{n}=\left(\begin{array}{l}5 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & -12 \\ -5 & +(-6) \\ 20 & -(-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10 \\ -11 \\ 24\end{array}\right) \)(2) \( \vec{x}=-10 x-11 y+24 z=d \)(3) -10\( \begin{array}{r} 3-11 \cdot 1+24(-2)=d \\ -89=d \end{array} \)\( (4) \vec{x}=-10 x-11 y+24 z=-89 \)
Ist mein Ergebnis richtig? Und habe ich das Kreuzprodukt richtig angewendet?
Schreibe bitte erstmal den affinen Unterraum E ⊂ |R^3 als die Menge
E = Lin((5,2,3),(-2,4,1)) + (3,1,-2)
= {(3,1,-2) + t (5,2,3) + m (-2,4,1) : t, m ∈ |R}
Diese Schreibweise, die Du oben hast, ist sehr unmathematisch!
Schalt mal einen Gang zurück und passe deine Kommentare/Antworten dem Niveau des FS an. Die Darstellung ist für das Abitur so üblich. Es ist also nicht hilfreich, die Leute jetzt noch mit Notationen aus dem Studium zusätzlich zu verwirren.
Es sollte der Vollständigkeit halber aber dennoch \(s,\ t\in\mathbb{R}\) dabei stehen, aber das wird ja für gewöhnlich auch gerne weggelassen...
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Ja, ich wollte ihm nur das bessere zeigen.Die Schreibweise da ist eben sehr unmathematisch und lückenhaft.Es kann ja sein, das er es jetzt nicht in der Schule braucht, aber was schadet es ihm denn schon mal bischen mehr zu wissen als seine Mitschüler? Im Endeffekt wird er es spätestens im Studium dann, so wie ich es im geschrieben habe, machen müssen. Unser Schulsystem bereitet eben nicht gut genug auf das Studium vor. Dann können wir ja hier zumindest es tun.
Ausser er studiert natürlich Jura…
Erstmal ist ja gar nicht klar, dass er überhaupt Mathematik studieren möchte. Und so unmathematisch ist die Schreibweise jetzt auch nicht. Eine Ebene in Parameterform kann man sehr wohl angeben als \(E\colon\vec{x}=\vec{a}+s\vec{p}+t\vec{q}\), mit \(s,\ t\in\mathbb{R}\). Da braucht man nicht unnötigerweise mit Begriffen wie affiner Unterraum oder der Notation der linearen Hülle kommen. Er zieht daraus also wirklich keinen Nutzen, selbst dann nicht, wenn er Mathematik studieren möchte. Dort wird die Notation ja dann nochmal eingeführt.
Unser Schulsystem bereitet eben nicht gut genug auf das Studium vor.
Das liegt viel mehr an den Lehrplänen, die immer weiter ausgedünnt werden. Andererseits muss man sich aber auch fragen: liegt es wirklich am Schulsystem? Abgesehen von der Bruchrechnung und Co. wird das meiste im ersten Semester sowieso nochmal etwas detaillierter behandelt. Da spielt es dann keine so große Rolle, ob man partielle Integration oder Integration durch Substitution schon kennt (damals wurde das im LK noch behandelt).
Also mit dem Studium meinte ich nicht unbedingt das reine Mathematikstudium. Auch in anderen Studiengängen die mathematiklastig sind, wird ihm das im meisten Falle nicht entgehen. Aber ja du hast Recht, das wird ja dann beigebracht. Jedoch finde ich es eben nicht schlecht schon mal bischen Vorwissen haben, sogar wenn es ,,nur‘‘ paar universitätmathematische Notationen sind. Die sollte man eben nicht unterschätzen.
Zu der Schreibweise: Also ich finde sie schon unmathematisch, da hier strengenommen nicht klar ist, was E da sein soll. E ist in dem Falle eine Menge und das ist hier eben nicht klar.
Die Notation ist aus meiner Sicht mehr als eindeutig. E ist die Bezeichnung und die Gleichung beschreibt eine Menge. Nichts anderes ist bspw. auch \( f(x) =x^2 \) mit \(x \in \mathbb{R}\). Oder ist das auch unmathematisch?
Und wenn du schon Uni-Notation vermitteln willst, dann verwende bitte LaTeX, denn sonst kann man das besser gleich lassen.
Der Unterschied ist aber, das f eine Funktion ist und E eine Menge sein soll. Die Schreibweise des FS kommt mir dagegen so vor, als wäre E auch irgendeine Abbildungsvorschrift, was ja falsch ist.
Was mir einfach hinter dem ganzen fehlt ist die Charakterisierung von E. Was soll E genau sein? Ist E dieser Vektor x =… ? Ist E irgendeine Vorschrift? Mir fehlt also die Genauigkeit und Präzision. Das ist eben das was es so unmathematisch macht.
Richtig wäre zu sagen, das E ein affiner Unterraum des |R^3 ist mit Elementen der Form x =…. Aber ja das kennen die Schüler leider ja nicht so.
Die Funktionsgleichung beschreibt letztendlich auch nur die Menge aller Punkte im \(\mathbb{R}^2\), die die Gleichung \( y=x^2\) erfüllen, denn eine Funktion ist nichts anderes als eine Relation zwischen zwei Mengen und eine Relation ist eine Menge von Tupeln.
Eine Notation ist sinnvoll, solange sie eindeutig und unmissverständlich ist, was bei der üblichen "Schul"schreibweise für Ebenen gegeben ist. Dass es sich um einen affinen Unterraum des \(\mathbb{R}^3\) handelt, ist völlig irrelevant. Des Weiteren werden in der Mathematik oft genug verkürzende Notationen verwendet. Eine Funktion schreibst du ja auch nicht als Menge von Tupeln. Streng genommen müsste man hier außerdem von Ebenengleichung sprechen, so dass der Unterschied zur Funktionsgleichung nun auch nicht mehr so groß ist. Das einzige, was man hier also wirklich bemängeln kann, ist das Fehler von \(s,\ t\in\mathbb{R}\).
Ist alles richtig. Allerdings ist die NF nicht \(\vec x=...\).
Die NF ist eine Gleichung, in diesem Fall \(-10x-11y+24z=-89\).
In Deiner Lösung fehlt außerdem jedes Stichwort was Du überhaupt tust.
Wie soll ich es aufnotieren? Können Sie vielleicht ein Beispiel geben?
1. Bestimmung des Normalenvektors: \(\vec n=...\).
Ergibt NF: \(-10x-11y+24z=d\).
2. Einsetzen des geg. Punktes: .... ergibt \(d=-89\).
Ergebnis: NF ist \(-10x-11y+24z=-89\).
Ahh ok, vielen Dank!
Man könnte den Ansatz für die Koordinatengleichung auch kurz so schreiben: $$\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{x} = \overrightarrow{n}\times\begin{pmatrix} 3\\1\\-2 \end{pmatrix}$$
Und habe ich das Kreuzprodukt richtig angewendet?
Da man sich beim Kreuzprodukt gerne mal verrechnet, hier ein kleiner Tipp: mache die Probe und prüfe, ob dein Normalenvektor senkrecht zu beiden Spannvektoren ist, das heißt, das Skalarprodukt muss 0 ergeben. Wenn man glatte Zahlen hat, geht das auch fix im Kopf:
\(-10\cdot 5 -11 \cdot 2 + 24 \cdot 3 = -50 - 22 + 72 = 0\) passt schonmal. Mit dem zweiten Spannvektor analog.
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