Welches ist das Urbild h der imaginären Achse h^{\prime}?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Komplexe Abbildungen: Gegeben ist die komplexe Funktion \( z \rightarrow w=f(z)=\frac{2 z-i}{z} \). Lösen Sie die Teilaufgaben und geben Sie jeweils die Lösungsgleichung, sowie die charakteristischen Eigenschaften und Grössen an. Bei einem Kreis sind dies die Kreisgleichung, der Mittelpunkt und der Radius. Bei einer Geraden sind dies die Geradengleichung, Steigung und der Schnittpunkt mit der imaginären Achse.

Text erkannt:

Welches ist das Urbild \( h \) der imaginären Achse \( h^{\prime} \) ?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe, dass die imaginäre Achse zuerst um -2 auf der reellen Achse verschoben wird. Dann wird die Gerade um -1 ausgehend vom Ursprung gestreckt, also gespiegelt und um 90° im Uhrzeigersinn gedreht? Schlussendlich am Einheitskreis invertiert, was einen Kreis gibt? Wie finde ich den Mittelpunkt und den Radius rein graphisches, also ganz ohne rechnen heraus?

Die Abbildung lautet ja umgeformt w = 2-i/z

Comments

Du suchst das Urbild der imaginären Achse, die Bedingung dafür lautet Re(w)=0. ermittle nun, welche x,y Werte diese Gleichung erfüllen, das ergibt Dein Urbild (übrigens einen Kreis).

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Ginge es auch, wenn man sich die Lösung über das Koordinatensystem zeichnerisch herleiten würde?

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Vielleicht, aber das halte ich für keinen zielführenden Ansatz. Du müßtest die imaginäre Achse so verbiegen, dass ein Kreis daraus entsteht (natürlich ohne zu wissen, dass ein Kreis das Urbild ist). Rechnen ist einfacher…

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Ich hätte sonst noch ein Aufgabe, die mir Probleme bereitet (separater Post), aber erstmal vielen Dank.