Die Schreibweise ist leider zweideutig; nein. Du hast das nicht richtig verstanden. Wenn du hast y = f ( x ) ,
f : A =====> B ( 1 )
dann ist mit
x =: f ^ - 1 ( y ) ( 2a )
die Umkehrfunktion gemeint, wobei du streng genommen zweierlei zu beweisen hast:
1) Es gibt eine Funktion g : B ====> A mit
f ° g = id | B ( 2b )
Wenn du ein solches g angeben kannst, so folgt daraus Surjektivität von f ; laut Wiki ist diese Surjektivität äquivalent zum ===> Auswahlaxiom ( AA ) ( woraus man wieder mal sieht, dass es ohne AA nicht geht. )
2) Es gibt eine Funktion g : B ====> A mit
g ° f = id | A ( 2c )
Wenn du ein solches g angeben kannst, so folgt daraus Treue von f.
Wir hatten ja einen fantastico Prof, der, so wie es sich gehört, immer betonte, was wichtig ist. Vielleicht ist es ja besser, die MENGE F ^ - 1 zur besseren Unterscheidung mit einem " großen F " zu bezeichnen; sie existiert nämlich immer und hat mit einer etwaigen Umlehrfunktion nichts zu tun. Ihre korrekte Definition
F ^ - 1 ( M ) := { x | f ( x ) € M } ( 3 )
F ^ - 1 kann leer sein. Z.B. setze f ( x ) := sin ( x ) ; dann ist
F ^ - 1 [ 4 711 ; 4 712 ] = { } ( 4a )
In Worten ist F ^ - 1 einfach die Menge der Urbilder; F ^- 1 kann sogar unendlich viele Urbilder enthalten ; setze etwa in dem obigen Beispiel
f : |R =====> |R ( 4b )
f ( x ) = sin ( x ) ( 4c )
F ^ - 1 { 0 } = { k Pi ; k € |Z } ( 4d )