Question

Bestimme das Urbild f^-1([0,8]) mit f(x)=x^2-1.

Mein Problem ist hier wiedereinmal die Aufgabenstellung.

Denn die Funktion ist ja nur Umkehrbar, wenn sie bijektiv ist, also wenn

f:[0,infty[->[-1,infty[ gilt.

In der Aufgabenstellung wird allerdings kein Def, sowie Wertebereich genannt, soll ich ihn nun selbst definieren(siehe oben)?

Wenn ja, dann wäre die f^-1(x)=sqrt(x+1) und f^-1([0,8])=[1,3] Richtig?

lg

Anton

Answer 1

Mein Problem ist hier wiedereinmal die Aufgabenstellung.

Denn die Funktion ist ja nur umkehrbar, wenn sie bijektiv ist, also wenn

f:[0,infty[->[-1,infty[ gilt.

Das hast du schon richtig geschrieben. Aber Urbilder bestimmt man auch von Wertemengen. Dass man f^{-1} schreibt, heisst nicht, dass f umkehrbar ist.

Bestimme das Urbild von f^-1([0,8]) mit f(y)=x^2-1.

Sicher, dass da nicht

Bestimme das Urbild f^{-1}([0,8]) mit y= f(x)=x^2-1.

steht?

Dann müsste man Folgendes machen:

Skizze

~plot~ x^2-1;0;8;[[-5|5|-2|10]];x=-3;x=-1;x=1;x=3 ~plot~

Grenzen der Intervalle ausrechnen:

0 = x^2 - 1 = (x-1)(x+1) ---> x1 = 1, x2=-1

8 = x^2 - 1, 0 = x^2 - 9 = (x-3)(x+3) ---> x3 = 3, x4 = -3

Urbildmenge U zusammenfügen:

U = [-3,-1] ∪ [1,3]

Comments

Ja, dort sollte f(x)=x^2-1 stehen. Tut mir leid, habe es au dem Handy schreiben müssen:()

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Und das Wörtchen von hast du auch ergänzt oder steht das im Original?

f:[0,infty[->[-1,infty[ gilt.

In der Aufgabenstellung wird allerdings kein Def, sowie Wertebereich genannt, soll ich ihn nun selbst definieren(siehe oben)?

Wenn ja, dann wäre die f^-1(x)=sqrt(x+1) und f^-1([0,8])=[1,3] Richtig?

Das ist dann, wenn du selber D definiert hast, auch nicht falsch.

Ich würde bei dieser Aufgabe aber vom maximal möglichen Definitionsbereich von f ausgehen. Vgl. meine Antwort. Vielleicht sollte ich das dort noch ergänzen.

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Ja:), ist das schlimm?

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Ja. :)  Damit drehst du die Frage quasi ein zweites Mal um und man muss einen y-Bereich bestimmen.

Ich habe oben eine Antwort zur von mir vermuteten Frage geschrieben.

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Stimmt fällt mir auch gerade auf:)

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Wenn du einverstanden bist, Fragestellung wurde korrigiert zu:

Bestimme das Urbild f^{-1}([0,8]) mit f(x)=x^2-1.

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Ja mach das:)

Jetzt habe ich aber noch paar Fragen. Aber erst einmal danke, dass du die Nerven hast einen Schülerstudenten zu helfen, ich würde die Kriese bekommen xD

Ich bin nämlich gerade etwas durcheinander, denn ich dachte man solle erst einmal die Umkehrfunktion Bilden und dann dort den Intervall berechnen.

Des Weiteren dachte ich, dass Urbild und Umkehrabbildung fast dasselbe sind.

Also, wo genau ist der Unterschied zwischen einem Urbild und einer Umkehrfunktion?

Ist das Urbild, das Bild der Umkehrfunktion?  Weil du ja dort den Wertebereich der Ausgangsfunktion angibst, sodass deine Bijektive Abbildung entsteht?

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Also, wo genau ist der Unterschied zwischen einem Urbild und einer Umkehrfunktion?

Das Urbild ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs einer Funktion. Hier braucht man nichts einzuschränken. Die Funktion muss nicht bijektiv sein. Die Schreibweise mit f^{-1} kann irritieren.

Die Umkehrfunktion ist eine Funktion, d.h. eine Zuordnung, die jedem Element ihres Definitionsbereichs genau ein Element ihres Bildbereichs zuordnet. f und f^{-1} haben vertauschte D und B.

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Achso, na das macht nun Sinn, danke schön

Answer 2

  Die Schreibweise ist leider zweideutig; nein. Du hast das nicht richtig verstanden. Wenn du hast  y = f ( x )  ,

       f  :   A  =====>  B    (  1  )  

       dann ist mit

       x  =:  f  ^ -  1   (  y  )       (  2a  )

    die Umkehrfunktion gemeint, wobei du streng genommen zweierlei zu beweisen hast:

    1)  Es gibt eine Funktion  g  :  B  ====>  A    mit

        f  °  g  =  id | B     (  2b  )

     Wenn du ein solches g angeben kannst, so folgt daraus Surjektivität von f ; laut Wiki ist diese Surjektivität äquivalent zum ===>  Auswahlaxiom  (  AA  )  ( woraus man wieder mal sieht, dass es ohne  AA nicht geht. )

       2)  Es gibt eine Funktion  g  :  B  ====>  A    mit

        g  °  f  =  id | A    (  2c  )


    Wenn du ein solches g angeben kannst, so folgt daraus Treue  von f.

   Wir hatten ja einen fantastico Prof, der, so wie es sich gehört, immer betonte, was wichtig ist. Vielleicht ist es ja besser, die MENGE  F  ^ -  1 zur besseren Unterscheidung mit einem " großen F  "  zu bezeichnen; sie existiert nämlich immer und hat mit einer etwaigen Umlehrfunktion nichts zu tun. Ihre korrekte Definition

   F  ^ - 1  (  M  )  :=  {  x  |  f  (  x  )  €  M  }      (  3  )

    F  ^ -  1  kann leer sein. Z.B. setze f ( x ) :=  sin  (  x  )  ; dann ist

     F  ^ -  1  [  4 711  ;  4 712  ]  =  {  }       (  4a  )

       In Worten ist  F  ^ -  1  einfach die Menge der Urbilder;  F ^- 1 kann sogar unendlich viele Urbilder enthalten ;  setze etwa in dem obigen Beispiel

      f  :  |R  =====>  |R      (  4b  )

      f  (  x  )  =  sin  (  x  )     (  4c  )

     F  ^ -  1  {  0  }  =  {  k  Pi  ;  k  €  |Z  }      (  4d  )