Linalg 1 - Faser (So was wie das Urbild)

Question

Aufgabe:

Ich lerne lineare Algebra mit dem Buch Gerd Fischer.

An einem Beispiel (siehe unten) wird gezeigt, was eine Faser ist.

Vorher noch wird die Faser definiert als:

\( F^{-1}(w) := /{ v \in V : F(v) = 2 /} \) wobei \(F: V → W\) die lineare Abbildung ist.

Beispiel: \( F: \mathbb{R^2} → \mathbb{R^2} \\ \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} ↦ \begin{pmatrix} -2x_1 + 2x_2 \\ -1x_1 +1x_2 \end{pmatrix} \)

Weiter steht geschrieben:

Es ist Im(F) = IR*( 2, 1 ). Konnte ich bestimmen.

Ker(F) = IR*( 1, 1 ).  Konnte ich bestimmen.

Und für \((2b,b)\) Element aus \(Im(F)\) ist die Faser die Gerade mit der Gleichung \(x_2 = x_1 +b\). Konnte ich nicht bestimmen und verstehe das auch nicht.

Frage:

Kann mir jemand die Faser und das rot Markierte erklären?

S115 Kapitel 2.2 Bild, Fasern und Kern, Quotientenvektorräume. Eigentlich fängt das Beispiel gerade unter Unterpunkt 2.2.2 des Kapitels 2.2 an

Comments

der rechte Ausdruck ist eine Matrix und \(\not \in \mathbb{R}^2\). Fehlt da in jeder Zeile ein \(+\)-Zeichen?

Answer 1

Hallo limonade,

Fangen wir mal mit der Abbildung \(F\) an. Das dürfte Dir bereits klar sein, ein Punkt \((x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2\) wird mit der Funktion \(F\) auf einen anderen Punkt im \(\mathbb{R}^2\) abgebildet. Hattest Du auch schon geschrieben:$$F: \space \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -2& 2\\ -1& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x_1+ 2x_2\\ -x_1 + x_2 \end{pmatrix}$$ Bild \(\text{Im}(F)\) und Kern \(\ker(F)\) der Abbildung hast Du bereits bestimmt.

Als dritten Aufgabenteil sollst Du die Menge aller Punkte \(v\) finden, deren Abbildung mit \(F\) den Vektor \(w=(2b \quad b)^T\) ergibt. $$F(v) = w = \begin{pmatrix} 2b\\ b \end{pmatrix} \quad v = ?$$Und genau wie Woodo es in seiner Antwort bereits geschrieben hat, stellt man dazu die Gleichung der Abbildung auf:$$ \begin{pmatrix} -2& 2\\ -1& 1 \end{pmatrix}  \cdot v = \begin{pmatrix} 2b\\ b \end{pmatrix} $$Die Menge aller \(v\), die diese Gleichung erfüllen, nennt man Faser (oder Urbild) der Abbildung \(F\) von \(w\). Damit die Faser keine leere Menge ergibt, muss das \(w\) natürlich im Bild von \(F\) liegen - also \(w \in \text{Im}(F)\). Das ist aber für jedes \(b \in \mathbb{R}\) der Fall, wie Du schon im ersten Aufgabenteil fest gestellt hast.

Da die Determinante der Matrix der Abbildung gleich 0 ist, haben wir es mit keiner oder unendlich vielen Lösungen für \(v\) zu tun. Wobei letzteres zu erwarten ist, da - wie schon geschrieben - \(w \in \text{Im}(F)\). Das löst man am besten mit dem Gauß:$$\begin{array}{rr|r} -2& 2& 2b\\ -1& 1& b\end{array}$$ziehe das doppelte der zweiten von der ersten Zeile ab$$\implies \begin{array}{rr|r} 0& 0& 0\\ -1& 1& b\end{array}$$die Gleichung der ersten Zeile ist immer erfüllt; d.h. wir haben es - wie erwartet - mit unendlich vielen Lösungen zu tun. Aus der zweiten Zeile folgt$$\begin{aligned}-x_1 + x_2 &= b \\ x_2 &= x_1 + b\end{aligned}$$Also jedes Koordinatenpaar \(v= (x_1 \space x_2)^T\), welches diese Gleichung erfüllt, erfüllt auch die Gleichung \(F(v) = w\) und ist damit ein Element der gesuchten Faser.

Das ganze noch mal optisch:

https://jsfiddle.net/b9m1d8wx/

Die blaue Gerade ist das Bild von \(F\). Alle Punkte \(v \in \mathbb{R}^2\), die auf der roten Geraden liegen, werden auf \(w\) abgebildet. Folglich ist die rote Gerade die Faser von \(w\) bezüglich \(F\). Verschiebe \(w\) mit der Maus, dann verschiebt sich auch die Faser.

Gruß Werner

Comments

Tausend Dank! 

Super:
Der Kern der Abbildung F, also Ker(F) ist die einzige Faser die durch den Nullpunkt geht. Deswegen ist \(Ker(F)\) ein Unterraum. 

Erkentnis:
Es gibt noch mehr Fasern, also der Kern ist nicht die einzige Faser. 
Diese zusätzlichen Fasern sind parallele Linien zu Ker(F). Wie zum Beispiel die Faser von \((2b , b)^T\). Diese sind aber nicht mehr Unterräume weil im Gegensatz zum Kern denen der Nullvektor fehlt.
Sie werden also affine Unterräume genannt, denn sie sind um einen Vektor v verschoben. 


Zusätzliche Frage: 
Ist es möglich, falls das Gegenstand der Linearen Algebra 1 ist,  herauszufinden wieviele Fasern eine Abbildung hat ?

Vermutung:
Ich vermute, dass beim Bespiel in  meiner Frage ja  \(b\) eine Reelle Zahl ist und deswegen bildet jede parallele Linie die um einen Abstand \(b \in \mathbb{R}\) entfernt vom Kern liegt (aber noch parallel ist) eine Faser zu F bildet. Irre ich mich ?  

Quotientenvektorraum:
Ich weiss, dass die Menge aller Fasern einer Abbildung F den Quotientenvektorraum bilden, also eine solche Menge wiederum eine Vektorraumstruktur hat. Aber mehr weiss ich derzeit über den Quotientenvektorraum nicht.  (Lerne ich die nächste Woche) 

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Hallo limonade,

Wenn Du mit 'Unterraum' den 'Untervektorraum' meinst, so ist das IMHO korrekt.

Ist es möglich, falls das Gegenstand der Linearen Algebra 1 ist,  herauszufinden wieviele Fasern eine Abbildung hat ?

In diesem Fall offensichtlich unendlich viele. Ansonsten vermute ich mal, so viele, wie sich Elemente im Bild der Abbildung befinden.

Ich vermute, dass beim Bespiel in  meiner Frage ja  \(b \in \mathbb{R}\) ist und deswegen bildet jede parallele Linie die um einen Abstand \(b \in \mathbb{R}\) entfernt vom Kern liegt (aber noch parallel ist) eine Faser zu F bildet. Irre ich mich ?

Ich habe es nicht nachgerechnet, aber der Abstand ist IMHO nicht \(b\)! Aber Du kannst sicher jeder Geraden parallel zum Kern genau ein \(b\) zuordnen und umgekehrt.

Quotientenvektorraum  ...

.. muss ich mich erstmal selber einlesen ;-)

Gruß Werner

Answer 2

Du löst einfach das Gleichungssystem:

$$ \begin{pmatrix} -2x_1 + 2x_2 \\ -1x_1 +1x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2b\\b \end{pmatrix}$$

Comments

Danke, somit ist "das rote" gemacht. 

Was ist mit der Faser? 
Kannst du das erklären ?