f surjektive lineare Abbildung....Zeigen, dass das Urbild eine Gerade ist

Question

Gegeben ist folgende Aufgabe:

es sei f : R ^{m+1} -> R^m eine surjektive lineare Abbildung. Zeigen Sie:

Für elle y Element von R ^m ist das urbild f^{-1} (y) =x element R ^{m+1} ; f(x)=y)) eine Gerade in R^{m+1}

EDIT: Nach dem ^ Klammern um die Exponenten ergänzt.

Answer 1

es sei f : R ^m+1 -> R^m eine surjektive lineare Abbildung. Zeigen Sie:

Für alle y Element von R ^m ist das urbild f^-1 (y) :=  {x element R ^m+1 ; f(x)=y)} eine Gerade in R^m+1  

Sei also y aus R^m:  Da f surjektiv ist, gibt es ein x aus R^m+1 mit f(x) = y   

Sei nun a aus  R^m+1 mit f(a) = y   

Das also f(a) = y = f(x)

ist f(a) = f(x) bzw    f(a) - f(x) = 0    wegen der Linearität   f(a-x) = 0also  a-x aus Kern(f) .   Wegen der Surjektivität ist Bild(f) = R^m hat also dim = m

Also   dim ( Kern(f) )  =  m+1 - m = 1 .

Also liegen allle Differenzen a-x zweier Elemente vom   urbild f^-1 (y)  in

einem 1-dim Unterraum von  R ^m+1  also ist   f^-1 (y)  eine Gerade.