Abspalten eines Linearfaktors aus Funktionsterm mit Variabeln

Question

Ich benötige Hilfe beim Lösen einer Aufgabe.

Aus dem Funktionsterm

x^4-a^4

soll ein Linearfaktor abgespalten werden. In der Regel erhält man, ist ein absolutes Glied vorhanden, die Nullstelle durch gezieltes Raten und wendet dann die Polynomdivision an, um den restlichen Term zur Nullstelle richtig darzustellen. Doch wie verfahre ich bei einer solchen Aufgabe oder einer der Form

ax^5-ax^4+bx^3-bx^2+cx+c.

Ist der Koeffizient beliebig zu wählen?

Für ein wenig Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

x⁴-a⁴ = 0

x = a
x = -a

Hier hast du bereits 2 Lösungen
1 ist laut Aufgabenstellung nur erforderlich.

Polynomdivision
x^4 - a^4 : x - a = x^3 + ax^2 + a^{2}x + a^3

Comments

Es war zwar nicht gefragt aber man könnte zur Übung alle Linearfaktoren abspalten.

(x^4 - a^4)/(x - a) = x^3 + a·x^2 + a^2·x + a^3

(x^3 + a·x^2 + a^2·x + a^3)/(x + a) = x^2 + a^2

(x^4 - a^4) = (x - a) * (x + a) * (x^2 + a^2)

Vielleicht sollte man noch erwähnen das man Nullstellen bei so einem Polynom allerdings durch direktes Auflösen löst (wie von georgborn gemacht) und nicht durch Polynomdivision.

Answer 2

bei deinem Beispiel kann man auch die 3te binomische Formel nehmen:

(x^4-a^4)=(x^2-a^2)*(x^2+a^2)=(x-a)(x+a)(x^2+a^2)