Kompaktheitskriterium im l^p Raum beweisen

Question

Sei p ≥ 1 und X = l^p der Raum aller Folgen (x(n)) (n ≥ 1) mit Σ n ≥ 1 |x(n)|^p < unendlich versehen mit der p-Norm ||x|| := (Σ n ≥ 1 |x(n)|^p )^(1/p) für x = (x(n)). Ferner sein A in X eine beschränkte und abgeschlossene Menge.

Zeige:

A ist kompakt <=> sup{Σ i ≥ n |x(i)|^p : x = (x(i)) in A} —> 0 für n —> unendlich

Ich weiss leider nicht, wie man das zeigen soll. Kann mir jemand einen Lösungsansatz geben, da ich überhaupt keine Orientierung habe.

Für Kompaktheit muss ich ja zeigen, dass für jede Folge (x^(m)) in A eine konvergente Teilfolge existiert, aber wie genau?

Comments

Grundidee kurz skizziert: Zwei Richtungen sind zu zeigen, a) Wenn A kompakt ist folgt das sup gegen null geht (z.B. als Widerspruchsbeweis mittels konvergenter Teilfolge); b) wenn sup gegen null geht, zeigt man die Kompaktheit über die Äquivalenz zur Folgenkompaktheit

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Ich habe eine Idee für die Hinrichtung:

Angenommen es gibt ε > 0 mit Σ (k ≥ n) |x_k|^p ≥ ε ab einem n.

Also gibt es für N eine Folge (n_j) mit n_j ≥ N und sodass Σ (k ≥ n_j) |x_k|^p ≥ ε. (1)

Da A kompakt und (x_j) = (x_(n_j)) in A lebt, gibt es eine konvergente Teilfolge x_(j_k) —> x in A (da A abgeschlossen). Dann gilt

||x_(j_k) - x||_p —> 0 für k —> unendlich.

Ausserdem gilt ||x_(j_k)|| ≤ ||x_(j_k) - x|| + ||x||

—> ||x|| und ||x|| < inf (da A beschränkt) (2)

Wie kann ich aber jetzt (1)+(2) zum Widerspruch führen?

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Die Zeile oberhalb (2) ist was du brauchst, die rechte Seite geht gegen null, also auch die linke was im Widerspruch zu (1) ist.

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Warum geht aber ||x|| gegen 0?

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Die Folge ist auch konvergent und Du betrachtest ja die Rest-Summe von n_j bis unendlich, die also gegen Null gehen muß

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Angenommen 2) ist falsch. Dann sei (x_n) in A ein Gegenbeispiel. Da A kompakt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge (x_(n_k)) —> (x_k) (*) in A.

Sei ein ε > 0 gegeben. Für N in N gilt dann

Σ (k >= N) |x_(n_k)|^p >= ε und da (*) gilt auch

Σ (k >= N) |x_(n_k) - x_k|^p —> 0.

Dann folgt

Σ (k >= N) |x_(n_k)|^p

<= C (Σ (k >= N) |x_(n_k) - x_k|^p

+ Σ (k >= N) |x_k|^p) —> 0 für N —> inf.

Richtig so?

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Ja, sieht gut aus.

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Ich danke sehr!

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Weisst du wie man die Rückrichtung macht?

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Du nimmst an, das das sup der summe gegen null geht.

Grundidee: Nimm eine beliebige Folge x_k aus A, schätze den ausdruck llx_k -x_jll durch Zerlegen der Summe nach oben ab und zeige, dass er gegen null geht. Damit ist x_k eine Cauchyfolge, also konvergent, somit A folgenkompakt und daher kompakt.

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(||x_n - x_m||_p)^p

= Σ (i = 1 bis k) |x_(n_i) - x_(n_i)|^p

+ Σ (i >= k) |x_(n_i) - x_(n_j)|^p

Nun ist Σ (i = 1 bis k) |x_(n_i) - x_(n_i)|^p durch einen Ausdruck M beschränkt.

Σ (i >= k) |x_(n_i) - x_(n_j)|^p soll gegen 0 konvergieren. Dafür nutzw ich ja bestimmt die Vorausetzung. Das Problem ist, die Vorausetzung gilt nur für Folgen aus A.

Die Differenzfolgen x_n - x_m ist doch aber i.A. nicht in A?

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Du kannst die Summe i≥k von lx_ni-x_njl nach oben durch 2xSumme x_ni abschätzen

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Es müsste glaube mal die Abschätzung

Σ (i ≥ k) |x_ni - x_mi|^p

≤ 1/(2^(p-1)) Σ (i ≥ k) |x_ni|^p - Σ (i ≥ k) |x_mi|^p

sein, wobei dann der obere Ausdruck nach Voraussetzung gegen 0 geht und damit auch der längere Summand Σ (i ≥ k) |x_ni - x_mi|^p.

Ist das korrekt?

Was passiert aber mit der endlichen Summe

Σ (i = 1 bis k) |x_ni - x_mi|^p. Den kann man ja genauso nach oben abschätzen und da A beschränkt ist auch noch weiter. Im Endeffekt erhält man da aber bei der ganzen Abschätzung und dem Grenzwertprozess einen kleinen Fehler… Wie kann dann ||x_n - x_m||_p insgesamt trotzdem gegen 0 gehen?

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Die Summe der ersten n Terme ist beschränkt, also nach Heine-Borel präkompakt. Somit existiert davon eine Teilfolge, die konvergiert.