Elementige Teilmenge im Raum 3 beweisen

Question

 Sei B eine vier-elementige Teilmenge von R³. Kann B eine Basis von R³ sein? Beweisen Sie Ihre Aussage

Answer 1

Hallo Jan, 

nein, die Begründung ergibt sich direkt aus

https://www.mathelounge.de/419358/basis-in-raum3-beweisen

Gruß Wolfgang

Answer 2

Seien B={u,v,w,x} eine menge Vektoren in R³. Seien {u,v ,w} eine Basis von R³ als die maximal mögliche linear unabhängige teilmenge von B (denn der nullvektor ist linear abhängig)  mit {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}. Da alle Elemente aus R³ dadurch dargestellt werden können lässt sich auch x daraus darstellen und dann ist x linear abhängig von {u,v ,w}. B ist also linear abhängig und kann deswegen keine basis von R³ sein.