Zeigen, dass Teilmenge eines Banach-Raums ebenfalls ein Banach-Raum ist

Question

Aufgabe:

Seien X ein Banach-Raum und A ⊆ X abgeschlossen. Zeigen Sie, dass A dann auch stets ein Banach-Raum ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ein Banach-Raum ein vollständig normierter Vektorraum ist. Aber ich habe keine Idee, inwiefern mir dies hilft. Viel mehr weiß ich über Banach-Räume leider nicht.

Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Comments

Zusätzlich ist gegeben, dass A Untervektorraum von X ist.

Answer 1

Zu zeigen ist:

i) A ist ein Vektorraum (sollte machbar sein, bzw. in der Definition von A gegeben sein)

ii) A ist vollständig, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert. Wenn du den Satz zur Verfügung hast, bzw. selber zeigst (wenn du dabei Hilfe brauchst, sag Bescheid), dass für eine konvergente Folge, deren Folgeglieder in einer abgeschlossenen Menge liegen, der Grenzwert ebenfalls in der Menge liegt, dann ist das quasi schon deinen Beweis.

Streng genommen auch noch iii) A ist normiert, wobei A einfach die Norm von X erbt

Comments

i) Da A, wie ich ja im Kommentar zugeschrieben habe, ein Untervektorraum von X ist, ist A ja auch ein Vektorraum.

ii) Wir haben einen Satz in der Vorlesung, welcher besagt, dass ein Raum vollständig ist, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert. Nun war ich aber im letzten Semester zwei Wochen krank, als das Thema Cauchy-Folgen und deren Konvergenz dran war. Ich habe zwar die Mitschriften. Jedoch habe ich leider nie wirklich verstanden, wie ich damit umgehen soll, weil ich zu der Zeit einfach verdammt viel nacharbeiten musste und ich es in der Klausur nicht benötigte. Daher habe ich auch keine Ahnung, wie ich zeigen soll, dass jede Cauchy-Folge konvergiert.

Da wäre ich über Hilfe sehr dankbar!

iii) Wie zeige ich denn, dass A die Norm von X „erbt“?