Metrischer Raum und eine endliche Teilmenge

Question

Aufgabe:

Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und \( A=\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} \subset X \) eine endliche Teilmenge. Zeigen Sie, dass \( A \) abgeschlossen ist.

Könnte mir bei der Aufgabe bitte jemand behilflich sein?

Answer 1

Idee: Das Komplement von A ist offen.

Denn wenn x ein Punkt aus X\A ist, ist x von allen x_i ∈ A verschieden,

und damit ist die Menge der Abstände von zu jedem der x_i eine

endliche Menge positiver Zahlen. Diese hat also ein Minimum ε.

Dann ist in der ε-Umgebung von x keines der x_i, also enthält die

nur Elemente von X\A. Somit ist X\A offen.

Answer 2

Hallo,

zeige zunächst, dass \(\lbrace{x \rbrace} \subset X \) abgeschlossen ist für alle \( x \in X \) (etwa mit dem Folgenkriterium).

Da die endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist, folgt die Abgeschlossenheit von \( A = \bigcup\limits_{i=1}^n \lbrace{x_i\rbrace} \)