Zeige, dass Br(a) eine abgeschlossene Teilmenge des metrischen Raums X ist

Question

Aufgabe 11:

Sei \( X \) ein metrischer Raum, \( a \in X, r>0 \). Zeigen Sie, dass \( \bar{B}_{r}(a) \) eine abgeschlossene Teilmenge von \( X \) ist.

Comments

Abgeschlossenheit zeigt man eigentlich immer, indem man zeigt dass das Komplement offen ist.

Das funktioniert hier denke ich auch sehr gut.

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Präzision? Br(a) ist ein Kreis?

Br(a) ist ein Kreis in einem metrischen Raum?

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\( \overline{B}_r(a) \) ist der Abschluss der offenen Menge mit dem Radius \( r \) um den Punkt \( a \in X \). Der Abschluss besteht aus der Menge und allen Häufungspunkten der Menge.

Answer 1

Die abgeschlossene Kugel ist definiert durch \(\bar{B}_r(a)=\{x\in X:\; d(x,a)\leq r\}\).

Nun soll gezeigt werden, dass diese Kugel auch eine abgeschlossene Menge

im Sinne der Metrik ist.

Hierzu betrachten wir die Abbildung \(f:X\rightarrow [0\infty), \; x\mapsto d(x,a)\).

Mithilfe der Dreiecksungleichung für die Metrik kann man leicht zeigen,

dass \(f\) stetig ist. Eine Abbildung ist genau dann stetig, wenn das

Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist.

In diesem Falle haben wir \(\bar{B}_r(a)=f^{-1}([0,r])\), q.e.d.