Erst einmal: Was sind die offenen Mengen von \(\hat{\mathbb{C}}\)? Nach genauer Überlegung sind es die offenen Mengen von \(\mathbb{C}\) und zusätzlich die Komplemente von kompakten Mengen von \(\mathbb{C}\) zusammen mit \(\infty\), also:
\(\mathcal{O} =\mathcal{O}_\mathbb{C}\cup\{\{\infty\}\cup(\mathbb{C}\setminus K)|K\text{ kompakt}\}\). Jetzt ist der Kompaktheitsbeweis ganz einfach: Wenn du eine offene Überdeckung \((O_i)_{i\in\mathcal{I}}\) von \(\hat{\mathbb{C}}\) hast, dann muss eine dieser Mengen \(\infty\) enthalten, diese Menge muss bereits ganz \(\hat{\mathbb{C}}\) bis auf eine kompakte Menge überdecken, für den kompakten Rest brauchst du nur noch endlich viele weitere der offenen Mengen.
Zur b) Zeige erstmal per Hand, dass die Abbildung stetig ist, das ist nicht so schwer. Danach findest du sehr einfach ein stetiges beidseitiges Inverses.
c) Für eine schöne Darstellung dieser Abbildung suche den Begriff "stereographische Projektion" oder "Riemannsche Kugel" im Internet.
