Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? Danke!
Es sei \( \mathcal{A} \) eine Banach-Algebra mit Einselement \( I \), nicht notwendig kommutativ. Für \( a \in \mathcal{A} \) mit \( \|a\|<1 \) definiert man
\(\log (I+a):=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} a^{n} .\)
(Wegen \( \|a\|<1 \) konvergiert diese Reihe in der Operatornorm.) Zeigen Sie:
(a) \( \exp (\log (I+a))=I+a \),
(b) für \( \|a\| \leq r<1 \) ist \( \|\log (I+a)-a\| \lesssim r\|a\|^{2} \),
(c) für \( a, b \in \mathcal{A} \) und \( m>\max (\|a\|,\|b\|) \) ist
\(\left\|\log \left(e^{\frac{a}{m}} e^{\frac{b}{m}}\right)-\frac{a}{m}-\frac{b}{m}\right\| \lesssim a, b \frac{1}{m^{2}} .\)
Folgern Sie die "Lie-product-formula"
\(e^{a+b}=\lim \limits_{m \rightarrow \infty}\left(e^{\frac{a}{m}} e^{\frac{b}{m}}\right)^{m} .\)
(Bemerkung: Das Symbol \( x \lesssim_{a, b, \ldots} y \) bedeutet: Es gibt eine Konstante \( C=C(a, b, . \).\( ) , so \) dass \( x \leq C y \).)
