Beweis Topologischer Raum abzählbar, leere Menge, Teilmenge

Question

Sei X eine Menge und T = { U (echte Teilmenge) von X | U = (leere Menge) oder X \ U ist abzählbar. Wie zeige ich jetzt, dass (X,T) ein topologischer Raum ist?

Answer 1

sieh mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Teilmenge#Weitere_Notationen

Bei euch wird wohl zwischen "echter Teilmenge" und "Teilmenge" nicht

unterschieden; denn sonst wäre das  T keine Topologie.

Für eine Topologie muss ja bei eurer Sprachregelung gelten:

X ∈ T  und ∅ ∈ T.

Das ist ja offenbar erfüllt, denn X \ X = ∅ ist abzählbar und

∅ ∈ T wird ja ausgesprochen festgelegt.

Durchschnitt zweier Mengen A und b aus T ist auch in T, denn entweder ist eine

leer, also auch der Durchschnitt leer und damit in T

oder  T \ A abzählbar und T \ B abzählbar .

also auch ( T \ A ) ∪ ( T \ B)   abzählbar

und wegen   ( T \ A ) ∪ ( T \ B) = T \ (A∩B)

ist also T \ (A∩B)  und damit A∩B aus T.

Nun fehlt noch:  Beliebige Vereinigung von Mengen A_i  ( i ∈ I, irgendeine Indexmenge) aus T

ist wieder in T.

Nun ist aber  T \ Vereinigung der A_i = Durchschnitt aller  ( T \ A_i)

und damit Teilmenge einer jeden Menge der Form T \ A_i , also abzählbar,

weil jedes  T \ A_i abzählbar ist.

Damit sind die 4 Eigenschaften einer Topologie nachgewiesen.