f hat genau eine Nullstelle im Intervall

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ und f eine Abbildung von ℝ nach ℝ mit f(x) := xⁿ⁺² - x² - 1.

Zu zeigen ist, daß f genau eine Nullstelle im Intervall [1, 1+\( \frac{1}{n} \)] und höchstens eine negative Nullstelle besitzt.

Problem/Ansatz:

Jeder Hinweis ist willkommen.

Answer 1

Für den ersten Teil: Setze die Grenzen des Intervalls ein und zeige, dass ein Funktionswert positiv und ein Funktionswert negativ ist. Die Existenz mindestens einer Nullstelle folgt dann wegen der Stetigkeit aus dem Zwischenwertsatz. Zeige dann, dass die Funktion auf diesem Intervall strikt monoton ist (Ableitung, die Monotonie gilt sogar für alle \(x\geq 1\)), um die Existenz genau einer Nullstelle zu zeigen.

Für den zweiten Teil:

Ist \(n\) gerade, so folgt die Behauptung direkt aus der Achsensymmetrie des Graphen. Es muss dann noch gezeigt werden, dass im Intervall \((0;1)\) keine weitere Nullstelle liegt.

Für \(n\) ungerade muss \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty\) gelten. Man kann zeigen, dass für \(x\leq 0\) der einzige Hochpunkt bei \(H(0|-1)\) liegt und damit \(f(x)\leq -1\) für \(x\leq 0\) gilt. In diesem Fall gibt es keine negative Nullstelle. Die andere Extremstelle ist stets positiv (es gibt höchstens zwei Extrempunkte).

Comments

Das beantwortet den ersten Teil der Frage nicht vollständig. Du hast nur gezeigt, das es mindestens eine Nullstelle gibt. Zu zeigen ist aber, es gibt genau eine Nullstelle in dem angegebenen Intervall.

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Danke, habe ich angepasst. Das bekommt man dann über die Monotonie heraus. :)

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Mit der Achsensymmetrie zeige ich doch nur, daß bei geradem n eine Nullstelle größer 1 (bzw. kleiner -1 existiert). Dann könnte es doch weitere zwischen -1 und 0 geben, oder?

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Müsste man nicht zeigen, was man auch kann, dass es nur genau einen lokalen Hochpunkt von \( f(x) \) gibt. Die anderen Nulstellen von \( f'(x) \) ergeben jeweils lokale Tiefpunkte.

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Mit der Achsensymmetrie zeige ich doch nur, daß bei geradem n eine Nullstelle größer 1 (bzw. kleiner -1 existiert). Dann könnte es doch weitere zwischen -1 und 0 geben, oder?

Stimmt. Gut beobachtet. Das Intervall \((0;1)\) haben wir noch nicht berücksichtigt. Du müssten dann tatsächlich zeigen, dass es dort keine weitere Nullstelle gibt. Das dürfte aber auch nicht allzu schwierig sein. Hier kann aber auch sehr leicht eine Argumentation über die Extrempunkte erfolgen, siehe den Fall für \(n\) ungerade. Der Hochpunkt liegt ja unterhalb der \(x\)-Achse und der Tiefpunkt ebenso. Zwischen HP und TP ist der Graph aber monoton fallend, weshalb er die \(x\)-Achse erst ab \(x\geq 1\) wieder schneidet.

Müsste man nicht zeigen, was man auch kann, dass es nur genau einen lokalen Hochpunkt von \( f(x) \) gibt. Die anderen Nulstellen von \( f'(x) \) ergeben jeweils lokale Tiefpunkte.

Das ergibt sich doch direkt aus der Extremwertberechnung: es gibt nur zwei. Dass \(f''(0)<0\) gilt und dort daher der Hochpunkt liegt, sieht man schnell ein. Der andere Extremwert ist dann zwangsläufig ein Tiefpunkt und wegen des Grenzwertverhaltens geht das nur für \(x>0\). Also gibt es keine weiteren Extrempunkte für \(x\leq 0\).

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3XL: Ich verstehe nicht, was Du sagen willst?

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Wenn es noch andere Hochpunkte gäbe, könnte man nicht unbedingt \( f(x) \le 0 \) folgern. Aber, die anderen kritischen Stellen liegen bei \( x^n = \frac{2}{n+2} \). Und das in die zweite Ableitung eingesetzt ergibt jeweils \( f''(x) > 0 \) also lokale Minima.

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Die hinreichende Bedingung ist in diesem Fall gar nicht notwendig, wenn man schon gezeigt hat, dass bei \(x=0\) das Maximum liegt.

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Ich habe mir überlegt, dass f(x) ≤ -1 für lxl < 1 ist und damit wäre doch dann für gerades n alles gezeigt und für ungerades n ist klar, daß für x<-1 es keine Nullstelle geben kann.

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dass f(x) ≤ -1 für lxl < 1

Das ist gut.

Dann liegt das jetzt nur noch bei dir, das alles sauber zu formulieren. :)