Question

Nachweisen, dass eine Funktion genau eine Nullstelle in einem Intervall hat.

Ich würde so vorgehen:

1. Die Grenzen des Intervalls in die Funktion einsetzen. Wenn ein Vorzeichenwechsel stattfindet, existiert laut Nullstellensatz mindestens eine Nullstelle in dem Intervall.

2. Nun müssen wir noch zeigen, dass es genau eine Nullstelle in dem Intervall gibt. Ich würde nun das Monotonieverhalten der Funktion untersuchen. Sollte sich das Monotonieverhalten der Funktion in dem gegebenen Intervall nicht ändern, also entweder nur wachsend oder abnehmend, dann liegt genau eine Nullstelle in dem Intervall.

Stimmt meine Theorie?

Answer 1

Ja, stimmt alles. Für 1. muss die Funktion allerdings stetig und auf dem gesamten Intervall definiert sein.

Comments

Wir müssen das nur bei ganzrationalen Funktionen zeigen. Die sind doch immer schön stetig :)

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Ah, na dann. In dem Fall musst du dir auch um den Definitionsbereich keine Sorgen machen. Das könnte sonst auch ein Problem werden, wenn du z.B. \(x\mapsto \frac{1}{x}\) auf dem Intervall \([-1,1]\) betrachtest.

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Kommt alles erst nächstes Jahr mit Bruchfunktionen, etc...:)

Answer 2

Müßte so stimmen. Ich kann keinen Fehler in deiner
Argumentatiion erkennen.

Comments

Die Antwort des mathecoachs zeigt folgende Fall

~plot~ 1/x ~plot~

im Intervall [-1 ; 1 ]

- Der Vorzeichenwechsel ist gegeben
- gleiche Monotonie ist auch gegeben

aber keine Nullstelle.

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Gut. Aber wie gesagt reichen meine Kenntnisse nur für ganzrationale Funktionen aus.

Answer 3

1. Die Grenzen des Intervalls in die Funktion einsetzen. Wenn ein Vorzeichenwechsel stattfindet, existiert laut Nullstellensatz mindestens eine Nullstelle in dem Intervall.

Um welche Art Funktion handelt es sich?

Was ist mit gebrochenen Funktionen, die z.B. eine Polstelle in dem Intervall haben. Dann könnte man ein Vorzeichenwechel ohne Nullstelle zu haben. Für Funktionen, die über den gesamten bereich Stetig sind ist das aber zutreffend.

Aber sonst sind deine Ausführungen zutreffend. 

Comments

Im Fachabi werden nur ganzrationale Funktionen behandelt.

Wenn sich das Monotonieverhalten in dem Intervall ändert existiert mindestens eine zwei Nullstelle. Richtig?

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Wenn sich das Monotonieverhalten in dem Intervall ändert existiert mindestens eine zwei Nullstelle. Richtig? 

Wie viele Nullstellen hat 

y = x^3 - x + 1 auf gesamt R

Wie ist das mit der Monotonie?

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Nein, betrachte z.B. \(x\mapsto x^2 -1\) auf dem Intervall \([-\frac{1}{2}, 2]\)

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Da hatte ich wohl einen Denkfehler. Stimmt.

Es kann ja sein, dass sich das Monotonieverhalten ändert von fallend zu steigend, aber die Funktion trotzdem die x-Achse nicht berührt. Dann hätte ich ja auch nur eine Nullstelle.

Mal angenommen eine Funktion soll zwei Nullstellen in einem bestimmten Intervall haben.

Wie zeige ich das?

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Du kannst beispielsweise das Intervall in zwei Teilintervalle zerlegen.

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Berechne die Hoch und Tiefpunkte in dem Intervall. Das und die Funktionswerte an den Grenzen erlauben dir eine genaue Auskunft über die Anzahl der Nullstellen in dem Bereich.

Answer 4

Hi, eine wesentliche Voraussetzung hast Du vergessen. Die betrachtete Funktion muss stetig sein. Ansonsten kannst Du ja auch nicht den Nullstellensatz anwenden.
Außerdem muss sie ja auch nicht monoton sein. Sie kann z.B. osszilieren, aber sie darf keinen Schnittpunkt mit der x-Achse haben.

Answer 5

Der ===> Zwischenwertsatz   besagt:

" Sei y = f ( x ) stetig auf dem reellen Intervall [ a ; b ]

f ( a ) < 0 ; f ( b ) > 0    ( 1 )

Dann existiert eine Nullstelle

a < x0 < b     ( 2a )

f ( x0 ) = 0    ( 2b )   "

Bemerkungen. Erstens. Das stimmt nicht mehr, wenn du dich z.B. auf die rationalen Zahlen beschränkst; Gegenbeispiel f ( x ) = x ² - 2

Zweitens. Es gibt patologische Funktionen, die auf einem Intervall stetig sind, ohne auch nur in einem Punkte differenzierbar zu sein ===> Kochsche Schneeflockenkurve.

Drittens; eine Funktion ist auf einem Intervall streng monoton wachsend genau dann, wenn ihre Ableitung f ' ( x ) f.ü. existiert und dort > 0 ist.

Demnach kann die Kochkurve auf KEINEM TEILINTERVALL MONOTON sein, weil wir ja gesagt hatten, sie ist NIRGENDS differenzierbar.

In der Zeitschrift " Spektrum " war mal " Herzkammerflimmern " abgebildet - eine ( stetige ) Funktion, die das Zeichenblatt mehr oder weniger einheitlich aus schwärzt.

So weit mir bekannt, handelt es sich bei solchen Funktionrn um ===> Fraktale.

Comments

Demnach kann die Kochkurve auf KEINEM TEILINTERVALL MONOTON sein, weil wir ja gesagt hatten, sie ist NIRGENDS differenzierbar.

Nur aus Interesse: Wie ist Monotonie bei Kurven definiert?

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Ganz natürlich. Streng monoton wachsend:

a < b ===> f () a ) < f ( b )

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Aber wenn ich eine Kurve habe, die eine Parametrisierung \(\gamma: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2, \gamma(s) = (x(s), y(s)) \) hat, dann bedeutet dies, dass ich eine totale Ordnung auf \(\mathbb{R}^2\) brauche, denn sonst wäre diese Definition nicht wirklich sinnvoll? Aber so eine totale Ordnung existiert nicht.

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Korrigiere mich bitte, wenn ich mich irre. Das Ganze wirkt auf mich wie Wortklauberei. Ich kann doch auf |R ² eine Halbordnung R einführen, indem ich setze

( x1 | y1 ) R ( x2 |y2 ) <===> x1 < x2 ; y1 < y2  ( 1 )

Mehr braucht es ja für unsere Zwecke nicht. Die Relation R ist transitiv und - ich möchte diese Eigenschaft mal als Exklusiv bezeichnen. Also damit meine ich , P1 R P2 und P2 R P1 können nicht gleichzeitig wahr sein . Damit habe ich Halbordnung gezeigt ( wenn dies für irgendwelche höheren Zwecke von Bedeutung sein sollte. )

Aber mal eine neugierige Gegenfrage. Du kennst doch auch den Witz

" Das Auswahlaxiom ist trivial erfüllt.

Der wohlordnungssatz ( WOS ) kann einfach nicht gelten.

Undbeim Zornschen Lemma wird man sehen. "

Es ist durchaus nicht unintressant, dass - analog optischen Täuschungen, denen sich ja auch kein Mensch willentlich entziehen kann - es eine geistige Denkblockade gibt, dass sich ausnahmslos jeder intuitiv weigert, den WOS einzusehen. Also was ich sagen wollte, natürlich existiert sogar eine wohlordnung auf |R ² .

Du meinst aber sicher etwas andreas. Ich vermute du kennst da irgendein Theorem, dass es keine vollständige Ordnung des |R ² gibt, die verträglich mit der Vektorraumaddition ist. Oder was ist genau die Aussage?

Als ich noch jung und dumm war, fragte ich mich ja auch: Lassen sich die komplexen Zahlen nicht auch " linear " anordnen wie die reellen? Und heute frage ich mich: Inwiefern ist dies nicht möglich?

Auch hier existiert eine Halbordnung, wenn du sie nach ihrem Betrag ordnest:

z1 < z2 <===> | z1 | < | z2 |    ( 2 )

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Ist mir schon klar was du sagst, man kann z.B. auch lexikographisch ordnen. Diese Ordnung wäre glaube ich sogar total. Aber der Punkt ist einfach, dass es keine totale Ordnung gibt, die mit der Vektorraumstruktur verträglich ist.

Der Punkt ist aber, dass mittels Halbordnungen definierte Monotonie leider nicht so gut mit dem üblichen Verständnis von Monotonie kompatibel und somit leider kleine Spielerei ist.

Ersetze einfach Kochkurve durch Weierstraß-Funktion und alle sind glücklich.

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Der Punkt ist: Man kann NICHT lexikografisch ordnen. Schon im 19. Jh. wurde bewiesen, dass ein Lexikon, welches alle Zahlen bzw. Punkte beschreibt, zwangsläufig endlich ist:

" e : die Eulerzahl "

" Pi : die Kreiszahl "

" Zwei : die gerade Primzahl "

Ich selbst bin ja Fan von ===> Edward Nelson und seiner ===> ( NSA ; IST )  Ein ausgezeichnetes Lehrbuch: Alain robert bei Wiley; es sollte mich freuen, wenn ich dich auf meine Seite ziehe.

NSA ( Non-Standard Analysis ) lässt sich leider nicht in fünf Minuten erläutern; selbst Nelson in seinem Original Paper geht einen ungewöhnlichen Schritt. Er weist darauf hin, dass selbst geniale Mathematiker diese Sprache lernen wie kleine Kinder ihre Muttersprache ( Sie bilden unkorrekte Sätze und falsche Aussagen. )

Ich selbst versuche immer Hilfestellung zu geben, indem ich, wenn ich NSA betreibe, Großbuchstaben ausschließlich für Standardobjekte reserviere.

Nelson kennt nun ein Theorem.

" Jede beliebige Menge m enthält eine endliche Teilmenge e , so dass

X € m ===> X € e   ( 1a ) "

Vorsicht; es steht nicht da

x € m ===> x € e   ( 1b )

( 1b ) wäre in der Tat ein Widerspruch. Aus irgendeinem Grunde, der mir nicht mehr erinnerlich ist, war ich mal in ein Telefonat mit einem Schweizer Professor vertieft. Und der sagte ernsthaft, Gerüchte weise habe er vernommen, die Nonstandard Freaks seien " ausgezogen, die Bedeutung bzw. Definition des Begriffes Endlich zu verändern. Die nennen etwas Endlich, was für normale Mathematiker unendlich ist ... "

Ist einfach nicht wahr.

Worauf ich hinaus will. Nelson selbst bezeichnet diese Menge e als " set of objects that are accessible " Was heißt " accessible " ? Nun; genau das. Diese Menge e ist endlich; und du könntest ihre Punkte lexikalisch katalogisieren. Damit hättest du aber automatisch alle Standardzahlen in dein Lexikon mit aufgenommen.

Du merkst das auch ganz klar bei Nelson, wo immer er inf(initesimale) Größen benutzt. Er führt da Elemente ein, die zwar Zweifel los existieren, die er aber außer Stande ist, individuell durch irgendeine Eigenschaft zu charakterisieren.

Was mich persönlich so schärft: Mit diesem Nelsonaschen Endlichkeitssatz kriegst du erstmals einen nicht chaotischen Beweis von ===> Heine-Borel, das heißt der Beweis baut systematisch auf auf lauter Trivialitäten. Wirst du auch im Kopf schaffen, sobald du dich in diese Lektüre vertieft hast.

Was du über Monotonie sagst. Natürlich verliert der Begriff der monotonen Funktion jeden Sinn, so bald
  du Abbildungen betrachtest, die auf dem |R ^ n definiert sind, n > 1 ( Oder die von |R ===> |R ^ n gehen. )

Über die Bezeichnungen " Weierstrassfunktion " und " Kochsche Schneeflockenkurve "

  Von Albert Einstein stammt ja jenes böse Zitat

" Man soll die Dinge nicht nur REGISTRIEREN , sondern auch interpretieren. "

Noch in den 70-ern während meines Studiums stand in den schlauen Büchern, Weierstrass habe da jene Funktion entdeckt, stetig auf ganz |R aber nirgends differenzierbar. Leider handle es sich um eine voll unanschauliche Fourierreihe, über die sich weiter nichts sagen lasse.  

Der Durchbruch kam dann kurz vor der Jahrtausendwende, als mit dieser fraktalen Schneeflocke zum ersten Mal ein Iterationsverfahren zu Gebote stand, sie sogar elementar geometrisch zu generieren. Das wurde damals groß in allen Zeitschriften hinaus posaunt. Würd mich mal intressieren; wann werden denn die Lehrbücher, die Klassiker " upgedated " ?

Mein Chef " Günter " in einem Weltelektromikkonzern hatte auch immer so schräge Sprüche drauf. Wenn man dem sagte, irgendwas geht nicht, z.B. die Veranschaulichung der Weierstrassfunktion. Dann kam immer Post wendend

" Kann MAN es nicht; oder wollten Sie nur sagen, Sie können es nicht? "

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Der Punkt ist: Man kann NICHT lexikografisch ordnen.

Doch. In unserem Fall ( \( \mathbb{R}^2 \) ) geht es sogar total, denn \( (\mathbb{R}, \leq) \) ist total geordnet und es gilt:

Wenn \( (X, \leq) \) total geordnet ist, dann ist die wie folgt auf \( X \times X \) definierte Ordnung total:

$$ (x_1, x_2) \leq (x_1', x_2') \quad :\Leftrightarrow \quad x_1 < x_1' ~\text{oder}~(x_1 = x_1'~\text{und}~x_2\leq x_2' )$$

Das ist leicht zu zeigen. Passt nur nicht zur Vektorraumstruktur.


  Was du über Monotonie sagst. Natürlich verliert der Begriff der monotonen Funktion jeden Sinn, so bald
  du Abbildungen betrachtest, die auf dem |R ^ n definiert sind, n > 1 ( Oder die von |R ===> |R ^ n gehen. )

Warum wählst du dann die Kochkurve als Beispiel? An dieser Stelle fällt mir wieder das bereits von dir genannte, böse Statement ein:

  " Man soll die Dinge nicht nur REGISTRIEREN , sondern auch interpretieren. "

Ich weiß nicht, was du unter "anschaulich" verstehst, aber der Aussage Leider handle es sich um eine voll unanschauliche Fourierreihe, über die sich weiter nichts sagen lasse über die Weierstraß-Funktion kann ich nur widersprechen. Finde beispielsweise den Wikipediaartikel ziemlich anschaulich und leicht verständlich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Funktion

Aber naja, offenbar sind wir etwas festgefahren. Ich hab meinen Standpunkt dargelegt und du deinen, ich werde es jedenfalls dabei belassen.