Berechnen Sie den Inhalt der von den Graphen der Funktionen f und g begrenzten Fläche

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die den Inhalt der von den graphen der Funktion f und g begrenzten Fläche.

c) f(x)= 1/4 x²  g(x)= (x-1)²

Comments

Was ist deine Schwierigkeit dabei?

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Es gibt doch CAS und GTR und alles mögliche, mit dem man solche Rechnungen überprüfen kann.

Answer 1

f(x) = 1/4·x²
g(x) = (x - 1)² = x² - 2·x + 1

Differenzfunktion

d(x) = f(x) - g(x) = 1/4·x² - (x² - 2·x + 1) = - 3/4·x² + 2·x - 1

Stammfunktion

D(x) = - 1/4·x³ + x² - x

Schnittstellen der Funktionen f und g

f(x) = g(x) oder d(x) = 0

d(x) = - 3/4·x² + 2·x - 1 = 0 --> x = 2/3 ∨ x = 2

Fläche zwischen den Graphen im Intervall [2/3 ; 2]

A = ∫ (x = 2/3 bis 2) d(x) dx = D(2) - D(2/3) = 0 - (- 8/27) = 8/27

Answer 2

Bestimme die Schnittstellen \(a\) und \(b\), wobei \(a<b\), durch Gleichsetzen der Funktionsterme und berechne das Integral mit diesen Schnittstellen als Grenzen über die Differenz der beiden Funktionen.

Ansatz: $$A=\left|\int_a^b\!f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x\right|$$

Kontrolllösung:

\(a=\frac{2}{3},\ b=2\)

\(A=\frac{8}{27}\)

Comments

Ich habe schon eine Lösung aber ich würde sie gerne noch von jemand anderen hören um eine Bestätigung zu haben. Aber trotzdem danke :).

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Dann sag doch einfach an, welche Lösung du hast, dann kann dir das auch jemand bestätigen. So muss man davon ausgehen, dass du gar nicht erst eine Idee hast, wie das Ganze funktioniert. Das ist dann nur ein unnötiger Mehraufwand für diejenigen, die helfen. Des Weiteren erweckt das dann den Verdacht, dass man nur darauf aus ist, eine vollständige Lösung abzugreifen.

Habe dir eine Kontrolllösung angegeben.

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Wieviele Lösungen brauchst Du denn um überzeugt zu sein? Wenn Du eine Umfrage machst, sag das bitte dabei (siehe obigen Kommentar zum Mehraufwand).

Zum Vorgehen: Das obige stimmt so nur, wenn es genau zwei Schnittpunkte gibt. Die allgemeine Formel ist \(A=\int\limits_a^b |f(x)-g(x)|\, dx\) (beachte den Unterschied).