Berechnen Sie den Inhalt der von den Graphen der Funktionen f und g begrenzten Fläche. Anwendung der Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der von den Graphen der Funktionen f und g begrenzten Fläche.

f(x) = \( \frac{4}{x^2} \)

g(x) = -\( \frac{5}{4} \)x +\( \frac{21}{4} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst die Schnittpunkte berechnet :

x₁ = -0,8 , x₂ =1 , x₃ = 4

Dann muss ich ja mit der Differenzfunktion von -0,8 bis 1 und von 1 bis 4 integrieren.

Doch bei

\( \int\limits_{-0,8}^{1} \) \( \frac{4}{x^2} \) -(-\( \frac{5}{4} \)x +\( \frac{21}{4} \) )dx 

= \( \int\limits_{-0,8}^{1} \) \( \frac{4}{x^2} \) + \( \frac{5}{4} \)x - \( \frac{21}{4} \) dx

= [-\( \frac{x}{4} \) + \( \frac{5}{8} \)x² - \( \frac{21}{4} \)x]_-0.8¹ 

^{kommt bei keinem meiner Taschenrechner ein Ergebnis.}

Answer 1

Wenn du mal die Funktionen zeichnest.

~plot~ 4/x^2;-5/4*x+21/4;[[-3|5|0|10]] ~plot~

f(x) hat an der Stelle x = 0 eine Definitionslücke.

Eigentlich bilden die Funktionen doch nur im Intervall von 1 bis 4 eine Fläche oder nicht?

Comments

Sind Definitionslücken GK relevant?

Ich habe gerade gelesen dass ich für eine Definitionslücke die Nullstellen des Nenners suchen muss

Also

x^2 = 0

x = 0

Reicht das so schon ?

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Ja. Definitionslücken sind relevant.

Und was deine Berechnung der Definitionslücke angeht ist das richtig. Einfach den Nenner 0 setzen und nach x auflösen.

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Ich weiß zwar nicht wie man es berechnet aber das wäre jetzt eine Polstelle mit VZW oder?

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*ohne ups hab mich vertippt

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Ja, ohne.

Und eingeschlossen wird die Fläche ja n ur von 1 bis 4,

also integrierst du nur von 1 bis 4.

Answer 2

Du hast versucht, über die Polstelle x=0 hinweg zu integrieren.

Du benötigst im Intervall von -0,8 bis 1 die uneigentlichen Integrale von -0,8 bis "0" und von "0" bis 1.

Da wird aber keine endliche Fläche eingeschlossen. Wirklich echt eingeschlossen wird die Fläche nur zwischen 1 und 4.

Comments

Also gebe ich als Inhalt der Fläche nur von 1 bis 4 an.

Bin im GK und habe von uneigentlichen Integralen noch nie was gehört xd