Anwendung der Integralrechnung: f(x)= x^2 und g(x)= -ax+2a^2 schliessen Fläche A= 4,5 ein.

Question

Folgendes Problem

Bestimmen Sie, für welchen Wert des Parameters a größer null die von dem Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den inhalt A hat. 

f(x)= x^2        g(x)= -ax+2a^2                                      A= 4,5    

Habe es selber versucht,  aber mache wohl irgendwo immer einen Fehler. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte,,, damit ich weiter lernen kann ..

Answer 1

Hi,

Differenzfunktion: \( h(x) = x^2+ax-2a^2= (x+2a)(x-a)\)

Nullstellen: \( x_1 = -2a, \ x_2 = a \)

Zu lösen:

$$ \left | \int \limits_{-2a}^{a} h(x)dx \right | = 4,5 $$

$$ | -4,5a^3 | = 4,5 $$

$$ a_1 = 1, \ a_2 = -1 $$

Edit: Beachte Einschränkung für \(a\).

Gruß

Answer 2

Funktionen gleichsetzen -----> Integrationsgrenzen x₁ und x₂

f(x)= x²        g(x)= -ax+2a²  

 x²  =  -ax+2a²  

 x²  + ax - 2a² =0  

x_1,2 = 1/2 (-a ± √(a^2 + 8a^2)) = 1/2 (- a ± 3a)

x₁ = 1/2 (-4a) = -2a

x₂ = 1/2 (2a) = a

Da f nach oben geöffnete Parabel und g Gerade, liegt im fraglichen Gebiet f 'unterhalb' von g.

Daher Gleichung

∫_-2a^a g(x) - f(x) dx = 4.5

∫_-2a^a  -ax+2a²  - x^2 dx = 4.5

-a/2 * x^2 + 2a^2 x - 1/3 x^3 |_-2a^a = 4.5 

Kontrolliere und korrigiere mal bis hier hin. Dann:

Grenzen einsetzen und dann die Gleichung lösen.

Comments

Ok danke erstmal,, ich kann den weg auch komplett nachvollziehen . Ich frag mich nur wie du in der Klammer bei der p und q Formel auf die 8a^2 kommst.

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Ich arbeite mit der Mitternachtsformel. Und da kommt unter der Wurzel D = b^2 - 4ac .

x²  + ax - 2a² =0 

Beachte die Farben:  a = 1, b = a, c = -2a^2

Answer 3

d(x) = f(x) - g(x) = x^2 - (- a·x + 2·a^2) = x^2 + a·x - 2·a^2 = (x - a)·(x + 2·a)

D(x) = x^3/3 + a·x^2/2 - 2·a^2·x

D(a) - D(- 2·a) = (a^3/3 + a·a^2/2 - 2·a^2·a) - ((- 2·a)^3/3 + a·(- 2·a)^2/2 - 2·a^2·(- 2·a)) = - 4.5·a^3

Für a = 1 ist die Fläche 4.5 FE groß.

Comments

Wo steckt bei mir der Fehler

x^2+ax-2a^2 = 0

x1,2 = -a/2 ±√(1/2a)^2 +2a^2

x1,2 = -a/2 ± a/2 +2a

x1= -a/2 +a/2 +4a/2   also x1 = 2a  

x2=-a/2 - a/2 +4a/2    also x2 = a

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deinido84: x1,2 = -a/2 ±√((1/2a)² +2a² )

Du darfst aus den Summanden nicht einzeln die Wurzel ziehen.

x1,2 = -a/2 ±√(2.25a² )

= -a/2 ± 1.5a   |wenn a≥0.

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Ok dankkkeeeeee,,, jetzt hab ich dank dir den Fehler gefunden,, an den ich seit 2 std dran sitze.  danke danke