Integralrechnung rückwärts? f(x) = -x^2 + 2a^2, g(x) = x^2, eingeschlossene Fläche A = 72. a=?

Question

Kann mir jemand die 6a) berechnen (mit rechenschritten)? Wäre echt toll danke sehr

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Vom Duplikat:

Titel: Integralrechnung verstehe einen Rechenschritt nicht

Stichworte: integral,nachhilfe

Hallo also es geht um die Aufgabe Nr.6a) und da ist die Lösung :  -x^2+2a=x^2  | + ×^2

                   2a^2=2x^2   | ÷ 2

                    a^2=x^2      | Wurzel

                    X= +,-, a    bis da hin Okay!

Aber; integral von -a bis a (-x^2+2a^2-x^2)dx=... (also -x^2+2a ist ja die Funktion f(x) , aber wie kommt man da auf die "-x^2"??? Fortsetzung:..[-2/3x^3+2a^3x]  wie kommt man hier drauf?? Dann gibt es noch paar andere Schritte und man kommt endgültig auf a=3 bitte es wäre toll wenn es mir jemand erklären könnte ich kann nicht mehr :(

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$$\text{Soll wohl }\int_{-a}^a\big(f(x)-g(x)\big)\mathrm dx\text{ meinen}.$$

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Für die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen muss mandie Differenz der Funktionen integrieren.

Answer 1

Hallo Niki,

f(x) = -x² + 2a²   und g(x) = x²

zuerst musst du die Schnittstellen ausrecnnen:

-x² + 2a² = x²   | + x²  |  ↔

2x² = 2a²   | : 2  |  √

|x| = |a|

x₁ =  a  ;  x₂ = -a

Für die Fläche A gilt dann

[ ich verzichte auf Symmetrievereinfachung, weil das dann hier ein Sonderfall ist ]

A = | _-a∫^a (  -x² + 2a² - x² ) dx |  =  | _-a∫^a ( - 2x² + 2a² ) dx |  =    | [ - 2/3·x³ + 2·a²·x ]_-a^a |

[ - 2/3·x³ + 2·a²·x ist ein Stammfunktionsterm zu  - 2x² + 2a²  ]

zuerst a und dann -a fur x einsetzen und dann subtrahieren:

=  | -2/3·a³ + 2a³ - ( 2/3·a³ - 2a³) | = | -4/3·a³ + 4a³ | =  | 8/3 ·a³ |

A soll = 72 sein: 

| 8/3 · a³ | = 72   →  a³ = ± 72 · 3/8  →    a³ = ± 27  →  a  = ± 3

Gruß Wolfgang

Comments

Dankeschön :-) aber warum kommt beim ersten schritt vom intergrieren noch -x^2 hin?

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Und danach *x^2?

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>  aber warum kommt beim ersten schritt vom intergrieren noch -x² hin?

Weil du von der Fläche unter f(x) die Fläche unter g(x) abziehen musst, damit du die Fläche zwischen den Graphen erhältst.

> Und danach *x²?

Da verstehe ich leider nicht, was du meinst. Habe oben noch ein paar Erklärungen ergänzt, schau nochmal rein.

Answer 2

Kann mir jemand die 6a) berechnen (mit rechenschritten)?

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a = -3 ist sicherlich auch richtig, weil es bei f(x) = -x² + a² gleichgültig ist, ob a positiv oder negativ ist.

vgl. meine Antwort

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Vielen dank, warum kommt da aber beim ersten schritt von integrieren noch hinter das -x^2+2a^2 "-x^2" hin?