Punkt ermitteln, der den Abstand von 3 LE zu einer Geraden h hat.

Question

Ich habe die Gerade h gegeben durch h: x→(3  0 -1 )^T + r• (-2 4 3)^T

Ich weiß, dass der Punkt A(3|0|-1) auf der Gerade liegt.

Der Abstand von A zum Punkt P(4|2|-3) beträgt 3 LE.

Da |Vektor AP|=3LE

Jetzt soll ich einen weiteren Punkt Q bestimmen, der den gleichen Abstand zur Geraden h hat, wie der Punkt P.

Wäre der Punkt Q mit Q(1|2|-2) möglich?

Es ist doch auch |QA|=3?

Oder könnte der Punkt Q(5|2|0) richtig sein, weil dort auch gilt |AQ|=3?

Danke vorab für eure Hilfe!

Comments

Wieso ist der Abstand von A zu P gleich 3?

---

Es gilt \(|PA|=|QA|\neq 3LE\). Für das zweite \(Q\) gilt dagegen \(|QA|=3LE\). Aber wieso sind das die Abstände zur Geraden? Meinst Du nicht, dass der Richtungsvektor auch eine Rolle spielt? Eine Skizze (2d) fördert das Verständnis ungemein.

Answer 1

Also du hast die Gerade

g: X = [3, 0, -1] + r·[-2, 4, 3]

A = [3, 0, -1]

P = [4, 2, -3]

A befindet sich offensichtlich auf der Geraden und P nicht auf der Geraden.

P hat von A und g den Abstand 3.

Wenn jetzt ein Punkt Q gesucht ist, der von g den gleichen Abstand hat wie P, dann kannst du alle Punkte auf einer zu g parallelen Geraden durch den Punkt P nehmen.

Qr = [4, 2, -3] + r·[-2, 4, 3]

Also z.B.

Q1 = [4, 2, -3] + 1·[-2, 4, 3] = [2, 6, 0]

Answer 2

Entweder ist der Punkt \(A\) oder \(P\) falsch angegeben (vermutlich die dritte Koordinate), da der Abstand nicht 3 LE ist.

Beachte, dass du nicht nur einen Punkt mit dem Abstand 3 LE zu \(A\) brauchst, sondern den Punkt auch so wählen musst, dass der Vektor \(\overrightarrow{AQ}\) orthogonal zur Geraden \(h\) und damit zum Richtungsvektor der Geraden ist, da Abstände zu Geraden immer mit der kürzesten Verbindung, die senkrecht verläuft, gemessen werden. Das trifft auf deine beiden angegebenen Punkte nicht zu.

Comments

ich denke eher, er hat die dritte Komponente des Vektors AP falsch berechnet…

---

Nein, denn dann wäre \(\overrightarrow{AP}\) nicht mehr orthogonal zur Geraden \(h\), so dass der Aufgabenteil, einen weiteren Punkt mit Abstand 3 LE zur Geraden anzugeben, falsch wäre, da \(P\) ja dann kein solcher Punkt wäre.

---

Stimmt, ja ich habe das - bei der x3 Koordinate vergessen.

Aber das heißt, dass die beiden Punkte von Q falsch sind, weil der Vektor AQ dann nicht orthogonal zum Richtungsvektor ist?

---

Wie lautet die Aufgabe denn nun korrekt?

---

Das ergibt sich aus der Aufgabe:

Jetzt soll ich einen weiteren Punkt Q bestimmen, der den gleichen Abstand zur Geraden h hat

Aber das heißt, dass die beiden Punkte von Q falsch sind, weil der Vektor AQ dann nicht orthogonal zum Richtungsvektor ist?

Ja, heißt es. Wähle also ein allgemeines \(Q=(q_1|q_2|q_3)\) und bestimme die Koordinaten so, dass du den gesuchten Abstand erhältst und die Orthogonalitätsbedingung erfüllt wird (LGS mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten). Es gibt unendlich viele solcher Punkte. Warum?

---

Berechnen Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes Q, der den gleichen Abstand zur Geraden h hat, wie der Punkt P.

---

In diesem Text kommt kein A vor.

Hast Du angenommen, dass der Abstand von P zur Geraden die Länge von AP ist oder stand das in der Aufgabe?

---

Bei der Teilaufgabe davor sollte man zeigen, dass der Abstand von P zur Geraden h der Länge des Vektors PA entspricht

---

Anscheinend ist die Gerade \(h\) auch falsch angegeben. Die Koordinaten von \(A\) bekommt man doch direkt über den Stützvektor. Man muss also vorher prüfen, ob \(\overrightarrow{AP}\) orthogonal zur Geraden ist, damit die Länge davon auch tatsächlich dem Abstand entspricht, was aber anscheinend mit der vorherigen Teilaufgabe erledigt wurde.

---

Ja genau, das habe ich da noch herausbekommen