Verdoppelungszeit und Halbwertzeit unterschiedliche Zahlenwerte?

Question

Aufgabe:

Hallo, die Aufgabe ist eine eigentlich eine sehr einfache.

Cäsium 131 zerfällt mit einer Halbwertzeit von 9,7 Tagen.

Die Zerfallsrate i pro Tag ist zu ermitteln.

Problem/Ansatz:

Die Vorgehensweise ist klar, ich rechne mir i mit T 1/2 = -ln(2) / ln (1+i) aus..... jetzt meine Frage: warum gibt es unterschiedliche Zahlenwerte wenn man folgendermaßen rechne:

T1/2 = -ln(2) / ln (1+i) →  9,7 = -ln(2) / ln /1+i)  TR- Solver → i = -0,06896....

T = ln(2) / ln (1+i) →   9,7 = ln(2) / ln /1+i)  TR- Solver → i = 0,07407....  hier rechne ich zwar die Verdoppelungszeit aber ich kann doch einfach ein Minus davor setzen oder? Die Verdoppelungszeit muss doch gleich sein wie die Halbwertzeit nur mit einem Minus natürlich.

Kann mir bitte jemand erklären warum das so ist?

Vielen Dank

Answer 1

Der Solver hat bei der Verdoppelung falsch gerechnet.

Aber bei Wachstum ist der Betrag der Rate immer größer als bei Zerfall: Von 100 auf 200 ist plus 100 % und von 200 auf 100 ist minus 50 %.

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Danke für die Antwort, OK, schön langsam ist es mir klar, logisch zuordnen kann ich das zwar nicht ganz, aber aufgrund aller Antworten ist es mir mathematisch klar.

Answer 2

Dein Fehler liegt in der Annahme, die Verdopplungszeit bei einem 10% igem Wachstum müsste die gleiche sein wie die Halbierungszeit bei einer 10% igen Abnahme. Das dies ein Trugschluss ist, zeigt dir folgende Skizze:

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Danke für die Antwort, absolut klar dieser Trugschluss :) Hat mir mein Sover bestätigt. Warum das so ist, ist mein Thema! Von der Logik habe ich das nicht ganz verstanden.

Answer 3

Die Gleichung dazu lautet:

q^9,7 =0,5 | beide Seiten hoch 1/9,7

q= 0,5^(1/9,7) = 0,9310 (täglicher Abnahmefaktor)

Daraus ergibt sich die prozentuale Abnahme:

1- 0,9310 = 0,0690 = 6,9%

Dem Logarithmus benötigt man hier nicht. Die gesuchte Variable steht nicht im Exponenten. Warum kompliziert, wenn es auch ganz einfach geht?

Man wendet das Potenzgesetz an: (a^b)^(1/b) = a^1 = a

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Du hast natürlich recht, es geht einfacher, aber wenn man mit den Formeln rechnet die ich hier dargestellt habe ist das Ergebnis ein anderes. Das war mir nicht klar warum das so ist ;) Meine Annahme, dass, wenn sich ein Wert in einer gewissen Zeit verdoppelt, dann muss sich dieser Wert in der selben Zeit halbieren.