Aufgaben zur Halbwertszeit und Verdoppelungszeit zum Thema exponentieller Wachstum rechen.
Die Formel für die Halbwertszeit eines Zerfallsprozesses mit der Bestandsfunktion \( f(t)= \) \( a \cdot b^{t}, 0<b<1 \) lautet: \( \quad T=\frac{\log 0.5}{\log b} \)
Die Formel für die Verdopplungszeit eines Wachstumsprozesses mit der Bestandsfunktion \( f(t)=a \cdot b^{t}, b>1 \) lautet: \( \quad T=\frac{\log 2}{\log b} \)
1. Wie gross war ein Kapital vor 10 Jahren, wenn es bis heute bei einem Zinssatz von \( 4 \% \) auf Fr. \( 14^{\prime} 802.44 \) angewachsen ist?
2. In welcher Zeit wächst ein Rappen beim Zinssatz \( 4 \% \) zu einem Franken an?
3. Fr. 21'000.- werden zu \( \mathbf{5 . 5 \%} \) und Fr. \( 20^{\prime} 500 .- \) zu \( 4 \% \) gleichzeitig an Zins gelegt. Nach welcher Zeit sind die Werte beider Guthaben gleich?
4. Im Jahre 1627 wurde die Insel Manhatten (New York) fur 24 Dollar von den Indianern gekauft. Im Jahre 1979 wurde der Wert (des Landes) auf 6 Milliarden Dollar ge-schätzt. Wie gross ist die (konstant angenommene) jährliche Wertzunahme in \%?
5. Bei welchem Zinssatz
a. verdoppelt sich ein Kapital in 20 Jahren?
b. verdreifacht sich ein Kapital in so Jahren?
c. verhundertfacht sich ein Kapital in 100 Jahren?
6. Ein Kapital von Fr. \( 8^{\prime} 000 .- \) wird mit \( 8 \% \) verzinst. Welches ist der Kapitalwert nach drei Jahren, wenn
a. in bankublicher Art der Zins am Jahresschluss zum Kapital geschlagen wird?
b. \( 2 \% \) Zins nach jedem Quartal zum Kapital geschlagen wird?
7. Die Einwohnerzahl von Afrika nahm von 1980 bis 1985 jahrlich um \( 3 \% \) zu. In der Mitte des Jahres 1985 betrug sie 555 Millionen Einwohner.
a. Zusatzaufgabe: Welches ist die Verdoppelungszeit bei unveränderter Wachstumsrate? (mit Logarithmus)
