Hat diese Funktion höchstens eine Nullstelle im Intervall

Question

Aufgabe:

zu zeigen f(x)=ax^3-3ax+b hat höchstens eine Nullstelle in [-a,a]

0 < a ≤ 1, b ∈ ℝ

Problem/Ansatz:

Mittelwertsatz

Answer 1

Die erste Ableitung ist 3ax²-3a=3a(x²-1).

Da a positiv ist und x²-1 bis auf den Intervallrand immer negativ ist, zeigt diese erste Abweichung für das gesamte Intervall streng monotones Fallen an. Somit kann es dort maximal eine Nullstelle geben.

Comments

Also wird kein Mittelwertsatz gebraucht?