Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion mit Mittelwertsatz zeigen?

Question

Meine Aufgabe:  Seien I offenes Intervall, x0 € I, f ist stetig und auf I\x0 differenzierbar

Zeigen Sie: Existiert lim f'(x) = a , dann ist f differenzierbar in x0 mit f'(x0)=0

Meine Idee:

"=>" Es existiert lim f'(x)=a. Zu zeigen: f'(x0)=a

Mit lim f'(x)=a ist die Ableitung beschränkt. Da f nach Voraussetzung auch stetig ist, existiert ein Intervall a € [x,y] € I.  Und dann weiß ich nicht mehr weiter...

"<=" f ist in x0 differenzierbar mit f'(x0)= a. Zu zeigen: Es existiert lim f'(x)=a.

Eine Funktion heißt differenzierbar in x0, falls lim (f(x)-f(x0)) / (x-x0) existiert. Es gilt also lim (f(x)-f(x0)) / (x-x0) = a. Wenn f differenzierbar ist in x0, ist f auch stetig in x0. Nun kann man mit Hilfe des Mittelwertsatzes schreiben: lim f'(x)=a

Stimmt das bisher so? !

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion mit Mittelwertsatz zeigen

Dein Ansatz benötigt einige Präzisierungen und Korrekturen. Beginnen wir mit dem ersten Teil deiner Aufgabe:

"=>" Teil:

Du gehst davon aus, dass \(\lim_{x \to x_0} f'(x) = a\) existiert und möchtest zeigen, dass \(f'(x_0) = a\). In der Aufgabenstellung scheint jedoch ein Tippfehler vorzuliegen, da angegeben ist, man solle zeigen, dass \(f'(x_0) = 0\), obwohl der allgemeinere Fall \(f'(x_0) = a\) diskutiert wird.

Präzisieren wir den Versuch unter der korrekten Annahme, dass die Aufgabe tatsächlich verlangt, zu zeigen, dass \(f'(x_0) = a\).

Es muss beachtet werden, dass die Ableitung an der Stelle \(x_0\) über den Grenzwert definiert ist:

\( f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \)

Um \(f'(x_0) = a\) mithilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung zu zeigen, gehen wir wie folgt vor:

Angenommen, \(f\) ist auf dem Intervall \(I\) stetig und auf \(I \setminus \{x_0\}\) differenzierbar. Und es existiere \(\lim_{x \to x_0} f'(x) = a\).

Für zwei beliebige Punkte \(x_1\) und \(x_2\) in \(I\) mit \(x_1 < x_0 < x_2\), garantiert der Mittelwertsatz, dass es ein \(c \in (x_1, x_2)\) gibt, so dass

\( \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c) \)

Da \(\lim_{x \to x_0} f'(x) = a\), können wir \(x_1\) und \(x_2\) so wählen, dass \(c\) beliebig nahe an \(x_0\) kommt, was bedeutet, dass der Quotient auf der linken Seite gegen \(f'(x_0)\) konvergiert, wenn \(x_1\) und \(x_2\) gegen \(x_0\) konvergieren. Folglich gilt \(f'(x_0) = a\).

"<=" Teil:

Deine Bemerkungen zum "<=" Teil sind etwas verwirrend und unvollständig. Du beginnst mit der Annahme, dass \(f\) in \(x_0\) differenzierbar ist mit \(f'(x_0) = a\), und möchtest zeigen, dass \(\lim_{x \to x_0} f'(x) = a\). Hier muss ein Missverständnis aufgeklärt werden: Die Differenzierbarkeit von \(f\) in \(x_0\) impliziert nicht unmittelbar etwas über das Verhalten der Ableitung \(f'\) in einer Umgebung um \(x_0\), außer dass sie an der Stelle \(x_0\) selbst den Wert \(a\) annimmt.

Die tatsächliche Aussage, die man beweisen möchte, richtet sich danach, was genau in der Aufgabenstellung verlangt ist. Die übliche Fragestellung in einem solchen Szenario ist jedoch nicht, aus der Differenzierbarkeit in einem Punkt auf das Verhalten der Ableitungsfunktion in einer Umgebung zu schließen, sondern das gegebene Verhalten der Ableitungsfunktion (ihre Konvergenz gegen \(a\)) zu nutzen, um auf die Differenzierbarkeit in diesem Punkt zu schließen.

Zusammenfassung:

Deine Idee, den Mittelwertsatz zur Lösung zu verwenden, ist prinzipiell ein guter Ansatz. Allerdings scheint es einige Verwirrungen bezüglich der Aufgabenstellung und der logischen Schlussfolgerungen zu geben. Falls die Aufgabe darin besteht zu zeigen, dass \(f'(x_0) = a\) unter der Voraussetzung, dass \(\lim_{x \to x_0} f'(x) = a\), dann führt der oben dargestellte Weg grundsätzlich in die richtige Richtung, benötigt aber eine präzisere Argumentation, insbesondere einen klareren Bezug auf den Mittelwertsatz und die Definition der Differenzierbarkeit.

Comments

Antwort mit KI erzeugt (2. Versuch)

Deine Herangehensweise und Überlegungen zur Aufgabe sind ein guter Anfang, es gibt jedoch einige Punkte, die einer Korrektur oder einer klareren Argumentation bedürfen. Ich gehe zunächst auf die Hinrichtung ("=>") deiner Argumentation ein und danach auf die Rückrichtung ("<=").

Hinrichtung ("=>")

Du hast richtig begonnen, indem du die Existenz des Grenzwertes \(\lim_{x \to x_0} f'(x) = a\) voraussetzt. Die Aufgabe fordert jedoch zu zeigen, dass \(f\) in \(x_0\) differenzierbar ist und dass \(f'(x_0) = a\).

Die Tatsache, dass \(f'\) nahe \(x_0\) gegen \(a\) konvergiert, legt nahe, dass \(f\) in \(x_0\) tatsächlich differenzierbar sein könnte, mit der Ableitung \(f'(x_0) = a\). Hier ist ein korrekter Ansatz, wie du dies zeigen könntest:

Argument:
1. Definition der Differenzierbarkeit:
\(f\) ist differenzierbar in \(x_0\), wenn der Grenzwert
\( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \)
existiert.

2. Anwendung des erweiterten Mittelwertsatzes:
Angenommen, \(x\) nähert sich \(x_0\) von rechts oder von links. Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gibt es ein \(c\) zwischen \(x\) und \(x_0\), so dass
\( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(c). \)
Da \(c\) sich \(x_0\) annähert, wenn \(x\) sich \(x_0\) annähert, und da der Grenzwert von \(f'\) bei \(x_0\) gleich \(a\) ist, folgt aus der Stetigkeit des Grenzwertes, dass
\( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = a. \)

Rückrichtung ("<=")

In dieser Richtung ist die Aufgabe, zu zeigen, dass aus der Differenzierbarkeit von \(f\) in \(x_0\) mit \(f'(x_0) = a\) folgt, dass \(\lim_{x \to x_0} f'(x) = a\).

Argument:
1. Differenzierbarkeit und Stetigkeit:
Da \(f\) in \(x_0\) differenzierbar ist, ist \(f\) auch in \(x_0\) stetig.

2. Stetigkeit der Ableitung in der Nähe von \(x_0\):
Wenn \(f\) in \(x_0\) differenzierbar ist und wenn \(f'\) in der Nähe von \(x_0\) existiert und stetig ist, dann folgt aus der Stetigkeit von \(f'\) und der Existenz von \(f'(x_0) = a\), dass \(\lim_{x \to x_0} f'(x) = a\).

Beachte, dass die Gültigkeit des letzten Arguments davon abhängt, ob \(f'\) in der Nähe von \(x_0\) tatsächlich stetig ist. Falls \(f'\) nur existiert, aber nicht stetig ist, könnte das Argument scheitern. Diese Annahme muss also gegeben sein oder aus anderen Voraussetzungen der Aufgabe folgen.