Für den ersten Teil: Setze die Grenzen des Intervalls ein und zeige, dass ein Funktionswert positiv und ein Funktionswert negativ ist. Die Existenz mindestens einer Nullstelle folgt dann wegen der Stetigkeit aus dem Zwischenwertsatz. Zeige dann, dass die Funktion auf diesem Intervall strikt monoton ist (Ableitung, die Monotonie gilt sogar für alle \(x\geq 1\)), um die Existenz genau einer Nullstelle zu zeigen.
Für den zweiten Teil:
Ist \(n\) gerade, so folgt die Behauptung direkt aus der Achsensymmetrie des Graphen. Es muss dann noch gezeigt werden, dass im Intervall \((0;1)\) keine weitere Nullstelle liegt.
Für \(n\) ungerade muss \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty\) gelten. Man kann zeigen, dass für \(x\leq 0\) der einzige Hochpunkt bei \(H(0|-1)\) liegt und damit \(f(x)\leq -1\) für \(x\leq 0\) gilt. In diesem Fall gibt es keine negative Nullstelle. Die andere Extremstelle ist stets positiv (es gibt höchstens zwei Extrempunkte).