Analytische Geometrie / Spurpunkte Klasse 12 Mathe

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A (2/0/1) B (-1/2/1) sowie C(1/5/4)

Weißen sie rechnerisch nach dass die angegebenen Punkte ABC ein Dreieck bilden.

Bestimmen Sie die Art des Dreiecks

ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC

ermitteln Sie den Koordinaten eines Punktes P welche auf der Geraden durch A und B liegt, aber nicht zwischen A und B

Zusatz: beschreiben Sie die besondere Lage des Punktes A im dreidimensionalen Koordinatensystem.

Comments

Nachweis Dreieck: Berechne die drei Richtungsvektoren zwischen den drei Punkten. Diese sollten alle in unterschiedliche Richtungen weisen, also linear unabhängig (nicht Vielfache) voneinander sein. Wenn sie in die gleiche Richtung weisen, liegt eine Strecke vor.

Art des Dreiecks: Berechne die Längen der Richtungsvektoren. (gleichschenkliges oder gleichseitiges Dreieck?) Prüfe auf Orthogonalität (90° Winkel) zwischen den Richtungsvektoren. (rechtwinkliges Dreieck?)

Flächenberechnung hängt von der Art des Dreiecks ab - Formelsammlung!

Beim Aufstellen einer Geradengleichung wird ja ein Parameter, meist t, verwendet. Dieser Paramater darf für Punkte, die nicht zwischen A und B liegen, nur Werte größer 1 oder kleiner -1 annehmen.

Hast du Schwierigkeiten die Richtungsvektoren zu berechnen? Oder fällt dir die Formel zur Berechnung der Länge nicht mehr ein? Oder fragst du dich wie man Orthogonalität prüft?

Auf konkrete Fragen werde ich gerne antworten, eine vollständige Lösung möchte ich hier aber nicht einfach hinschreiben.

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Ich bin mir nicht sicher, wie ich die die Richtungsvektoren berechne und wie ich das mit der Gerade ausrechne ?

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Nachweis Dreieck: Berechne die drei Richtungsvektoren zwischen den drei Punkten. Diese sollten alle in unterschiedliche Richtungen weisen, also linear unabhängig (nicht Vielfache) voneinander sein. Wenn sie in die gleiche Richtung weisen, liegt eine Strecke vor.

Achtung: AB, AC und BC sind linear abhängig, da

BC = AC - AB

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Wenn schon - denn schon

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Wenn schon - denn schon

Wenn sich das auf meinen Kommentar bezieht, bräuchte ich wohl einen Tipp, weil ich das gerade nicht verstanden habe.

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Wenn du schon Fehler korrigierst, dann doch am besten gleich alle.

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Korrektur meinerseits: Oben habe ich geschrieben "Beim Aufstellen einer Geradengleichung wird ja ein Parameter, meist t, verwendet. Dieser Paramater darf für Punkte, die nicht zwischen A und B liegen, nur Werte größer 1 oder kleiner -1 annehmen." Falsch!!! Es muss heißen "nur Werte größer 1 oder kleiner 0".

Für alle Punkte zwischen A und B (A und B ausgeschlossen) nimmt t Werte zwischen 0 und 1 an, 0<t<1.

Für negative Werte von t liegen die zugehörigen Punkte auf der Geraden bildlich gesprochen links von A (wenn B rechts von A liegt).

Im Spezialfall t=-1 entsteht der Spiegelpunkt B' von B an Punkt A.

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Für alle Punkte zwischen A und B (A und B ausgeschlossen) nimmt t Werte zwischen 0 und 1 an, 0<t<1.

Und selbst das ist nur unter zusätzlichen Bedingungen richtig. Wenn jemand die Aufgabe hat, die Gerade durch A und B vektoriell zu beschreiben, dann kann er zunächst zwei weitere Punkte C und D dieser Geraden ermitteln und DIESE für eine Parametergleichung verwenden.

Die Strecke AB erhält man dann mit anderen Parametern, die nicht zwischen 0 und 1 liegen müssen.

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Die Strecke AB erhält man dann mit anderen Parametern, die nicht zwischen 0 und 1 liegen müssen.

So sieht's leider aus. Oftmals stellen Schüler die Gerade durch A und B wie folgt auf

g: X = A + r * (A - B)

Hier wären dann die Parameterwerte für die Strecke AB die Werte im Intervall [-1 ; 0].

Zweckmäßig ist es also immer die Gerade mit

g: X = A + r * AB = A + r * (B - A)

aufzustellen. Gerade wenn man später prüfen möchte, ob ein Punkt auf der Strecke AB liegt.

Manchmal vereinfache ich aber auch gerne eine Geradengleichung, indem ich den Richtungsvektor mit einem Wert multipliziere, sodass die Komponenten ganzzahlig werden. Das hängt aber davon ab, was man mit der Geradengleichung noch machen möchte.

Answer 1

a)

AB = [-3, 2, 0]
AC = [-1, 5, 3]

AB und AC sind linear unabhängig und damit liegen AB und C nicht auf einer Geraden und bilden damit ein Dreieck.

Answer 2

Richtungsvektor AB berechnet man indem man B minus A rechnet. $$\begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3\\2\\0 \end{pmatrix}$$

Für die Geradengleichung benötigst du den Punkt A als Stützvektor (alternativ Punkt B) und den Richtungsvektor AB (alternativ BA).

$$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3\\2\\0 \end{pmatrix} $$

Wenn du jetzt für t in die Geradengleichung z.B. t= 0,5 einsetzt, so liegt der berechnete Punkt genau auf der Hälfte zwischen Punkt A und B. Für z. B. t=3 erhältst du Punkt (-7/6/1) oder für t =-2 Punkt (8/-4/1). Sie liegen außerhalb der Strecke AB. Für t=0 erhältst du den Punkt A, für t=1 den Punkt B.