Wie bestimme ich die Galoisgruppe eines separablen Polynoms?

Question

Aufgabe: prüfe ob f separabel ist, falls ja bestimme seine Galoisgruppe Gal(f/K)

f = x³ - 5

a) K=F₇

b) K=Q

Mit der Separabilität habe ich keine Probleme bei beiden ist f separabel über dem Körper.

Jedoch verstehe ich nicht wie ich die Galoisgruppe bestimmen kann? Gibt es da ein einheitliches Verfahren? Ich weiß nur es hat irgendetwas mit dem Zerfällungskörper zu tun aber leider ist mir das zu wage um etwas hinzubekommen.

Bin für jeden Tipp dankbar

Answer 1

a) Sei \(\alpha\) eine Nullstelle des Polynoms in einer algebraischen
Erweiterung von \(F_7\), dann sind alle Nullstellen des Polynoms
von der Form \(\alpha,\, \omega\alpha,\, \omega^2\alpha\)
mit einem \(\omega\), für das \(\omega^3=1\) gilt, d.h.

\(\omega\) ist eine 3-te Einheitswurzel, also im Falle \(\neq 1\)

muss gelten \(\omega^2+\omega+1=0\).

Wegen \(2^2+2+1=7=0\) kann man \(\omega=2\) nehmen

und bekommt als Zerfällungskörper

\(F_7(\alpha,\omega)=F_7(\alpha)\), d.h. \(F_7(\alpha)\) ist normal

und hat den Grad 3 über \(F_7\), damit hat die Galoisgruppe

3 Elemente und ist daher die zyklische Gruppe, die z.B.

von \(\sigma(\alpha)=2\alpha\) erzeugt wird.

Die Nullstellen von \(f\) sind ja \(\alpha, 2\alpha, 4\alpha\).

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Leider ist mir das Prinzip deines Vorgehens nicht ganz klar geworden. Habe noch ähnliche Aufgaben bei denen ich es gerne selbst versuchen würde aber müsste erst den Weg verstehen.

Also man wählt sich eine Nullstelle und dann bin ich leider auch schon raus. Vielleicht kannst du mir deinen Weg etwas allgemeiner erklären.

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Es gelte \(\alpha^3=5\) und ebenso \(\beta^3=5\),

dann folgt \((\frac{a}{\beta})^3=\frac{5}{5}=1\).

Setzt man also \(\omega=\frac{\alpha}{\beta}\), so gilt \(\omega^3=1\),

d.h. \(\omega\) ist eine 3-te Einheitswurzel. Zwei Lösungen der Ausgangsgleichung

unter scheiden sich also um einen 3-ten Einheitswurzel-Faktor.

Sämtliche Nullstellen sind also \(\alpha,\; \omega\alpha,\; \omega^2\alpha\).

Nun liegen die 3-ten Einheitswurzeln alle im Grundkörper \(F_7\),

nämlich \(\omega = 2, \; \omega^2=4,\; \omega^0=1\)