Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an, die die Gerade Senkrecht im Punkt schneidet

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an, die die Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \) senkrecht im Punkt \( \mathbf{P}(\mathbf{1}|-2| 1) \) schneidet.

Problem/Ansatz: kann jemand mir bei dieser Aufgabe helfen

Answer 1

Hallo,

du suchst einen Vektor \(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\), dessen Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor der Geraden null ergibt.

\(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 3\\1\\-3 \end{pmatrix}=0\\ 3x+y-3z=0\)

Damit hast du die Gleichung einer zu g senkrechten Ebene.

Die gesuchte Ebene soll aber noch P enthalten. Setze die Koordinaten von P in die Ebenengleichung ein.

\(3\cdot 1+1\cdot (-2)+(-3)\cdot 1=-2\) und du erhältst für die Ebene

\(E:\;3x+y-3z=-2\)

Gruß, Silvia

Answer 2

Es gilt: Eine Gerade steht genau dann orthogonal auf einer Ebene, wenn sie parallel zu deren Normalenvektor ist. Zwei Ebenen sind senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren 0 ergibt.