Für zwei Endomorphismen f: V → V und g: V → V mit det(f) = det(g) gilt auch Kern(f) = Kern(g).

Question

Aufgabe: Für zwei Endomorphismen f: V → V und g: V → V mit det(f) = det(g) gilt auch Kern(f) = Kern(g).

Problem/Ansatz:

Ich habe mir folgendes gedacht: da beide Matrizen die gleiche Determinante haben, haben Sie zumindest schonmal beim Lösen der Matrizen dieselbe Hauptdiagonale.

Fall 1: det(f), det(g) ≠ 0 ⇒ rang(f,g) = max. ⇒ der Kern(f,g) = {0}

Fall 2: det(f), det(g) = 0 ⇒ rang(f,g) = nicht max ⇒ der Kern(f) = {0, ...., x} und der Kern(g) = {0, ...., y}

Im Fall 1 würde die Aufgabe Sinn machen. Im Allgemeinen also Fall 1 und 2 funktioniert die aufgabe nicht, da unterschiedliche Kerne herauskommen können.

Liege ich da richtig?

Answer 1

Ja. Du hast Recht. Die angegebene Behauptung in ihrer Allgemeinheit ist falsch:

\(A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right),\; B=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right)\)