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Hallo nochmal,

ich hatte bei meinem vorherigen Beitrag eine Frage vergessen:

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f: V-->V mit f°f=f ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass gilt ker(f) ∩f(V)=0

mein Ansatz: Ich habe versucht mit der Injektivität von f zu argumentieren und mit dem Zusammenhang, dass ker(f)=0 dann automatisch 0 sein muss, habe aber keine weiteren Ideen dazu. Wisst ihr eventuell weiter?

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ker(f) ∩f(v)=0

was wird an v vorausgestzt? einfach nur ein v aus V?

Ich denke schon, zumidest ist das, was ich gepostet habe schon die ganze Aufgabenstellung

Sicher, dass im Original f(v) und nicht f(V) stand?

f: V-->V mit f°f=f

Damit ist f eine sogenannte Projektion.

Tut mir leid, du hast Recht. ich meinte f(V).

Habe das f(V) nun so korrigiert. Damit sind mit V alle Elemente von V gleichzeitig gemeint.

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Danke an @Lu. Zu zeigen ist ker(f) ∩f(V)={0} (Gleichheit von Mengen)
"⊆" Ein Element aus ker(f) ∩f(V) ist von der Form f(w) für ein w aus V (als Element von f(V)) und für diesen gilt zusätzlich f(f(w))=0, da f(w) im kern liegt.
Nach Voraussetzung ist f(f(w))=f(w)=0. Somit ist f(w) in  {0}.

"⊇" 0 liegt im Kern. Liegt es auch in f(V)? Ja, denn 0=f(0).

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Besten Dank, dass hat mir sehr gehilfen. Weißt du vielleicht, ob und wenn ja wie, ich das Argument mit der Injektivität trotzdem noch einbauen könnte?

Klar, aber das wäre dann eine sehr starke Annahme. Ist f injektiv dann haben wir direkt ker(f)={0}, und damit  ker(f) ∩f(V)={0}∩f(V)={0}. Bei letzter Gleicheit ist zu begründen, dass 0 in f(V) liegt, aber das gilt offensichtlich.

Sorry dass ich nochmal nachfrage, aber ist es richtig von mir aufgefasst, dass die aufgabenstellung schon impliziert, dass der Endomorphismus injektiv ist?

Nein, Endomorphismus heißt nur, dass die lineare Abbildung in selben Raum abbildet. Monomorphismus nennt man falls f injektiv ist, und Epi- falls surjektiv.

ok vielen vielen Dank, dass hatte ich durcheinandergebracht. Könnte man denn auch den Beweis so führen, dass man f als einen Monomorphismus auffasst und daraus dann schließt, dass es auch für den Endomorphismus gelten muss, da der Monomorphis die "stärkeren Eigenschaften" hat?

Nein, dieses f ist im Allgemeinen nicht injektiv, also darf man nicht annehmen, dass f Monomorphismus ist. Endo und Mono haben apriori nichts miteinander zutun, aus einem folgt nicht das andere und umgekehrt.

Ok, vielen Dank!

Hallo, tut mir leid, dass ich nochmal so spät etwas nachfrage, aber was bedeutet es eigentlich genau in diesem Bsp, dass f°f=f. Bzw. was ist der Sinn dahinter? Hätte man es nicht bei dem Beweis einfach bei f als Endomorhismus belassen können?

f°f=f heisst dass f(f(v)) das gleiche wie f(v) ist. Zum beispiel f(x,y)=(x,0). Die Bedingung Endomorphismus braucht man  damit f°f wohldefiniert ist. Zum beispiel für die lineare Funktion  f:RxR->R macht f°f kein Sinn,weil kein Endomorphismus.

hi, danke dass du mir nochmal geantwortet hast. Es tut mir extrem leid, falls ich mich wieder total dumm anstelle. Aber lu hat ja schon gesagt, dass es sich bei f°f=f um eine Projektion handelt. Wäre es dann nicht so, dass der Endomorphismus hier doch injektiv wäre, weil ja nur die 0 auf die 0 abgebildet wird.

Das mit der Projektion hab ich nicht gesagt, aber ja Projektionen erfüllen f°f=f. "echte" Projektionen sind nie injektiv!!! Deine Schlussfolgerung "0 geht auf 0" => injektiv, ist falsch. Jede lineare Abb erfüllt "0 geht auf 0". Richtig wäre zu sagen, "NUR die 0 geht auf 0". Diesfalls folgt injektivität. Bei echten Projektionen gehen viele Vektoren ungleich null auf die Null. Zum Beispiel f(x,y)=(x,0)

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