Beweise u.a. zu linearer Unabhängigkeit: Stimmen diese Beweise?

Question

Hallo, ich schreibe bald eine Klausur und habe gerade diese Aufgaben bearbeitet (oder versucht), aber leider ist mir erst nach dem Bearbeiten aufgefallen, dass es zu den Aufgaben keine Lösungen gibt, weshalb ich jetzt hier fragen wollte, ob meine Überlegungen so stimmen:

1.Folgt aus der linearen Unabhängigkeit der Vektoren u,v,w auch, dass u+v,v+w und w+u linear unabhängig sein müssen?        (editiert)

Behauptung: Ja, sie müssen linear unabhängig sein. D.h. a(u+v)+a(v+w)+ a(w+u)=0 =>a=0

Beweis:

Laut Aufgabenstellung gilt:

au+av+aw=0 => a=0

Dann soll nach Behauptung gelten:

a(u+v)+a(v+w)+ a(w+u)=0 =>a=0

<=>au+av+av+aw+aw+au=0

<=>2av+2au+2aw=0

<=>2(au+av+aw)=0

<=>au+av+aw=0        (entspricht der Voraussetzung)

2. Seinen A,B ∈ K^mxn und für alle x∈Kⁿ gelte Ax=Bx. Ist dann A=B?

Behauptung: Ja, dann gilt A=B.

Beweis:

Matrix a b    * Vektor  x   = Matrix e f    * Vektor  x  

          c  d                 y                  g h                 y

      

ax+by=ex+fy

cx+dy=gx+hy

<=> ax-ex=fy-bx

       cx-gx=dy-hy

<=>(a-e)x=(f-b)y

      (c-g)x=(d-h)y

<=> (a-e)x-(f-b)y=0

      (c-g)x-(d-h)y=0

Hier weiß ich gerade nicht mehr so recht weiter... Es müsste ja darauf hinauslaufen, dass a=e, f=b, c=g und d=h ist.

Stimmt die erste Aufgabe so und könntet ihr mir vielleicht bei der zweiten weiterhelfen?

Answer 1

Hallo

 1. Aufgabe  stimmt

2. selbst wenn du das mit einer 2*2 Matrix gezeigt hättest muss es ja nich allgemein gelten,

 nimm da es für alle x gelten muss die Standardbasisvektoren für x, dann gibt A*e1 die erste Spalte von A, B*e1 die erste von B also sind die ersten Spalten gleich , dasselbe mit ei ergibt, dass die i ten Spalte gleich sind, also alle,

Gruß lul

Comments

Hallo lul, sorry, dass ich nochmal nachfrage, aber ich dachte, dass ich deine Erklärung zu dem zweiten Beweis verstanden hätte aber ich habe nochmal versucht den Hinweis zu deinem Besuch in die Tat umzusetzen, das hat aber nicht so funktioniert. Könntest du mir vielleicht evt. noch einen präziseren Hinweis geben. Ich habe schon für x die Standardbasisvektoren verwendet aber weiß gerade nicht genau, wie ich das mit den Matrizen machen soll.

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Hallo

 ist dir klar, dass A*e1 die erste Spalte von A ergibt, mit e1=(1,0,..,0)^T

wenn nicht, probier es mit einer beliebigen Matrix aus

 dasselbe mit ek ( lauter Nullen 2 an der k ten Stellt, da ergibt sich die k te Spalte von A ( oder von B.

Gruss lul

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Ok vielen Dank!

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1. Aufgabe  stimmt

Was soll daran stimmen ?

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Hi, gasthj2166, kannst du vielleicht sagen, warum das falsch sein soll? Wäre mir wichtig, weil ich mir sonst etwas falsch eingeprägt hab

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.Folgt aus der linearen Abhängigkeit der Vektoren u,v,w ... 

Laut Aufgabenstellung gilt:    au+av+aw=0 => a=0

Das passt doch irgendwie nicht zusammen.

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Oh man, da hast du natürlich recht. Danke, dass du mir das gesagt hast. Ich habe gerade nochmal in die genaue Aufgabenstellung geguckt und es sollte Unabhängigkeit heißen, ich habe mich hier leider vertippt. Kann das in der Aufgabenstellung aber gerade nicht mehr ändern:(

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warum das falsch sein soll?

Man kann drei verschiedene as nicht mit demselben Buchstaben bezeichnen.

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Hallo nochmal, müsste mein erster Beweis, abgesehen von der falschen Bezeichnung der as, die ja auf jedenfall nicht richtig ist, nicht trotzdem falsch sein.

Das erste Problem wäre doch, dass ich nur den Fall im R^2 gezeigt hätte, aber das große Problem, ist doch, dass es doch keine 3 linear unabhängige Vektoren im R^2 geben darf....