Beweis zu linearer Unabhängigkeit

Question

Hallo, ich schreibe am Montag Klausur in Linearer Algebra und hänge an einer Übungsaufgabe..

Aufgabe:

Seien V ein Vektorraum der Dimension 2 und x,y,z Elemente aus V mit x+y+z=0.
Zeigen Sie: sind x,y linear unabhängig, so ist {x,z} eine Basis von V.

Problem/Ansatz:

x+y+z=0 bedeutet ja, dass x,y,z linear abhängig sind.
Für einen 2-dimensionalen Vektorraum bilden 2 linear unabhängige Vektoren eine Basis, 
d.h. es ist zu zeigen dass wenn x,y linear unabhängig, dann auch x,z.

Leider habe ich weiter keine Idee, wie ich von "x,y,z sind l.a." und "x,y sind l.u." auf "x,z sind l.u." schließen soll.

Unsere Definition von linearer Unabhängigkeit ist  λ₁x₁+ ... + λ_nx_n = 0  ⇒  λ₁,...,λ_n = 0

Answer 1

Ich hätte Folgende Idee:

Aus x + y + z = 0 folgt z = -x - y.

Seien nun also a,b ∈ K sodass gilt:

ax + bz = 0

ax + b(-x-y) = 0

ax -bx -by = 0

(a-b)x + (-b)y = 0

Nach Voraussetzung sind x und y linearunabhängig, also folgt aus der letzen Gleichung das a und b gleich 0 sind und so mit sind x und z linear unabhängig, also einen maximal linear unabhängige Teilmenge, daher Basis. (Bin erst im ersten Semester, also ist Skepsis ggü der Lösung durchauß angemessen)

Comments

Vielen Dank, bin darauf nicht gekommen!