Untersuchen sie ob die Vektoren a + b linear unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Die Vektoren a ,b ,c seien linear unabhängig . Untersuchen sie ob die Vektoren a + b linear unabhängig sind.

Wie soll man das zeigen ?

Vielen Dank im Voraus .

Problem/Ansatz:

Vektoren sind linear unabhängig, wenn keine nicht-triviale Linearkombination der Vektoren Null ergibt. Mathematisch ausgedrückt :  r * a + s *  b + t * c = 0 

wenn und nur wenn : r = s= t = 0 

Also habe ich folgendes gemacht :

r * (a +b)  + t * c = 0

ra + rb + tc =0

Da a , b, c linear unabhängig sind folgt daraus das r = 0  t = 0.

Und somit ist a+ b linear unabhängig .

Ich bin mir leider nicht sicher ,ob das richtig ist wie ich es gemacht habe.

Comments

Welche Vektoren? a+b ist ein Vektor, und ein einzelner Vektor ist stets linear unabhängig. Poste die Aufgabe im Original, vollständig.

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Die Vektoren a ,b ,c seien linear unabhängig . Untersuchen sie ob die Vektoren a + b , 2a-c , b+c auf lineare Unabhängigkeit .

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Falls du den Basisaustauschsatz von Steinitz bzw. das Austauschlemma schon hattest, kannst du auch so vorgehen:

Schrittweises Austauschen

\(a,b,c \)

\(\downarrow\: a\rightarrow a+b\)

\(a+b,\: b,\:c\)

\(\downarrow\: b\rightarrow b+c\)

\(a+b,\:b+c,\:c\)

\(\downarrow\: c\rightarrow 2a-c\) denn \(2a-c = 2(a+b)-2(b+c)+c\)

\(a+b,\:b+c,\:2a-c\)

Fertig.

Answer 1

Also habe ich folgendes gemacht :

r * (a +b)  + t * c = 0

ra + rb + tc =0

Da a , b, c linear unabhängig sind folgt daraus das r = 0  t = 0.

Und somit ist a+ b linear unabhängig .

Du hast das richtig gemacht. Die Vektoren a + b und c sind daher linear unabhängig.

Comments

Hi, danke aber das ist die vollständige Aufgabe: Die Vektoren a ,b ,c seien linear unabhängig . Untersuchen sie ob die Vektoren a + b , 2a-c , b+c auf lineare Unabhängigkeit .

So habe ich es dann gelöst: r * (a+b ) + s* (2a-c) + t* (b+c) = 0

= ra + rb + 2sa -sc +tb +tc =0

Laut Aufgabe sind die Vektoren a, b, c linear unabhängig somit muss  r= s= t = 0 sein und damit sind auch die Vekoren a + b , 2a-c , b+c linear unabhängig .

Ist das richtig ?

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ra + rb + 2sa -sc +tb +tc =0

Du musst hier noch zeigen, dass es nur für r = s = t = 0 die Triviallösung gibt.

Das könnte man wie folgt machen:

r·(a + b) + s·(2·a - c) + t·(b + c) = 0

(r + 2·s)·a + (r + t)·b + (t - s)·c = 0

r + 2·s = 0 --> s = -0.5·r

r + t = 0 --> t = -r

-s + t = 0

Setzen wir mal die 1. und die 2. in die 3. Gleichung ein

-(-0.5·r) + (-r) = 0 → r = 0

und auch s = 0 und t = 0. Damit gibt es nur die Triviallösung und die Vektoren sind linear unabhängig.

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Ich verstehe leider nicht deinen Lösungsweg.

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(a + b), (2·a - c) und (b + c) sind linear unabhängig, wenn es für die Gleichung

r·(a + b) + s·(2·a - c) + t·(b + c) = 0

nur die Triviallösung r = s = t = 0 gibt.

Durch ausmultiplizieren und umordnen erhält man die Gleichung

(r + 2·s)·a + (r + t)·b + (t - s)·c = 0

Da a, b und c linear unabhängig sind, müssten hier die Koeffizienten also null ergeben. Also setze ich die Koeffizienten gleich null und löse das entstehende Gleichungssystem.

Answer 2

Sowas zeigt man bspw. über die Definition der linearen Unabhängigkeit. Allerdings ist deine Aufgabe wohl unvollständig, denn bei dem Vektor \(a+b\) handelt es sich ja nur um einen Vektor und dieser ist natürlich linear unabhängig. Hier fehlt also die Angabe mindestens eines weiteren Vektors.

Comments

Die Vektoren a ,b ,c seien linear unabhängig . Untersuchen sie ob die Vektoren a + b , 2a-c , b+c  auf lineare Unabhängigkeit .