Aufgabe:
Die Vektoren a ,b ,c seien linear unabhängig . Untersuchen sie ob die Vektoren a + b linear unabhängig sind.
Wie soll man das zeigen ?
Vielen Dank im Voraus .
Problem/Ansatz:
Vektoren sind linear unabhängig, wenn keine nicht-triviale Linearkombination der Vektoren Null ergibt. Mathematisch ausgedrückt : r * a + s * b + t * c = 0
wenn und nur wenn : r = s= t = 0
Also habe ich folgendes gemacht :
r * (a +b) + t * c = 0
ra + rb + tc =0
Da a , b, c linear unabhängig sind folgt daraus das r = 0 t = 0.
Und somit ist a+ b linear unabhängig .
Ich bin mir leider nicht sicher ,ob das richtig ist wie ich es gemacht habe.
Welche Vektoren? a+b ist ein Vektor, und ein einzelner Vektor ist stets linear unabhängig. Poste die Aufgabe im Original, vollständig.
Die Vektoren a ,b ,c seien linear unabhängig . Untersuchen sie ob die Vektoren a + b , 2a-c , b+c auf lineare Unabhängigkeit .
Falls du den Basisaustauschsatz von Steinitz bzw. das Austauschlemma schon hattest, kannst du auch so vorgehen:
Schrittweises Austauschen
a,b,ca,b,c a,b,c
↓ a→a+b\downarrow\: a\rightarrow a+b↓a→a+b
a+b, b, ca+b,\: b,\:ca+b,b,c
↓ b→b+c\downarrow\: b\rightarrow b+c↓b→b+c
a+b, b+c, ca+b,\:b+c,\:ca+b,b+c,c
↓ c→2a−c\downarrow\: c\rightarrow 2a-c↓c→2a−c denn 2a−c=2(a+b)−2(b+c)+c2a-c = 2(a+b)-2(b+c)+c2a−c=2(a+b)−2(b+c)+c
a+b, b+c, 2a−ca+b,\:b+c,\:2a-ca+b,b+c,2a−c
Fertig.
Also habe ich folgendes gemacht :r * (a +b) + t * c = 0ra + rb + tc =0Da a , b, c linear unabhängig sind folgt daraus das r = 0 t = 0.Und somit ist a+ b linear unabhängig .
Du hast das richtig gemacht. Die Vektoren a + b und c sind daher linear unabhängig.
Hi, danke aber das ist die vollständige Aufgabe: Die Vektoren a ,b ,c seien linear unabhängig . Untersuchen sie ob die Vektoren a + b , 2a-c , b+c auf lineare Unabhängigkeit .
So habe ich es dann gelöst: r * (a+b ) + s* (2a-c) + t* (b+c) = 0
= ra + rb + 2sa -sc +tb +tc =0
Laut Aufgabe sind die Vektoren a, b, c linear unabhängig somit muss r= s= t = 0 sein und damit sind auch die Vekoren a + b , 2a-c , b+c linear unabhängig .
Ist das richtig ?
ra + rb + 2sa -sc +tb +tc =0
Du musst hier noch zeigen, dass es nur für r = s = t = 0 die Triviallösung gibt.
Das könnte man wie folgt machen:
r·(a + b) + s·(2·a - c) + t·(b + c) = 0
(r + 2·s)·a + (r + t)·b + (t - s)·c = 0
r + 2·s = 0 --> s = -0.5·r
r + t = 0 --> t = -r
-s + t = 0
Setzen wir mal die 1. und die 2. in die 3. Gleichung ein
-(-0.5·r) + (-r) = 0 → r = 0
und auch s = 0 und t = 0. Damit gibt es nur die Triviallösung und die Vektoren sind linear unabhängig.
Ich verstehe leider nicht deinen Lösungsweg.
(a + b), (2·a - c) und (b + c) sind linear unabhängig, wenn es für die Gleichung
nur die Triviallösung r = s = t = 0 gibt.
Durch ausmultiplizieren und umordnen erhält man die Gleichung
Da a, b und c linear unabhängig sind, müssten hier die Koeffizienten also null ergeben. Also setze ich die Koeffizienten gleich null und löse das entstehende Gleichungssystem.
Sowas zeigt man bspw. über die Definition der linearen Unabhängigkeit. Allerdings ist deine Aufgabe wohl unvollständig, denn bei dem Vektor a+ba+ba+b handelt es sich ja nur um einen Vektor und dieser ist natürlich linear unabhängig. Hier fehlt also die Angabe mindestens eines weiteren Vektors.
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