"Definition":
Die Vektoren v1, v2, ..., vi, ... ,vn sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt:
a1 * v1 + a2 * v2 + ... + ai * vi + ... + an * vn = 0 ⇒ ai = 0 für alle i
also genau dann, wenn sich der Nullvektor nur durch eine solche Linearkombination aller Vektoren darstellen lässt, in der alle Koeffizienten ai den Wert Null haben.
Stelle also aus "deinen" Vektoren v1, v2 und v3 ein lineares Gleichungssystem auf und löse es:
a1 * 4 + a2 * 1 + a3 * 3 = 0
a1 * 0 + a2 * 2 + a3 * 2 = 0
a1 * 2 + a2 * 0 + a3 * 0 = 0
a1 * 0 + a2 * 0 + a3 * 3 = 0
Aus der vorletzten Zeile folgt a1 = 0, aus der letzten Zeile folgt a3 = 0 und mit a3 = 0 folgt aus der zweiten Zeile a2 = 0.
Somit folgt also aus dem Gleichungssystem ai = 0 für alle i . Damit ist die oben angegebene Definition erfüllt und daher sind die Vektoren v1, v2, und v3 linear unabhängig.