Prüfen von linearer Unabhängigkeit im Vektorraum: a) {sin x, sin 2x, sin 3x} b) {ex, e2+x}

Question

Ich habe folgende Aufgabe, wo ich einfach nicht auf die Lösung kommen:

 

Es sei V die Menge aller auf ganz R definierten Funktionen. Prüfen sie ob die folgenden Vektoren jeweils linear unabhängig in V sind.

a) {sin x, sin 2x, sin 3x}

b) {e^x, e^2+x}

Comments

Es genügt auch, in die Gleichung a * e^x + b * e^2*x = 0, die für alle x gelten soll, zwei Werte für x einzusetzen, am einfachsten nimmt man x = 0 und x = ln(2).
Dann bekommt man a + b = 0 und 2a + 4b = 0, und daraus folgt überaus leicht, dass a = b = 0 sein muß.

Answer 1

bezeichne die Nullfunktion mit  0, d.h. es ist  0(x) = 0  für alle  x ∈ ℝ.
(a)  Rechne nach, dass aus  a,b,c ∈ ℝ  und  a·sin(x) + b·sin(2x) + c·sin(3x) = 0  folgt
a = b = c = 0. Daher ist  (a)  linear unabhängig.
(b)  Definiere  a = e²  und  b = - 1. Dann ist  a·e^x + b·e^2+x = 0. Daher ist  (b)  linear abhängig.